5i8 THÉORIE DES NOMBRES. 



Il faut donc que ces trois conditions soient incompatibles entre 

 elles. 



Démonstration du cas J^II, 



Soit « = 1 , la première condition aura lieu d'elle-même , et les 

 deux autres seront f^) =i> Ct") '^^' Celles-ci ne peuvent 

 avoir lieu à-la-fois , donc 



yil. Si Ton a (^— J = 4-1, il s'ensuit (—-J = — \, 



Démonstration du cas T^llI, 

 Soient toujours B et ^ les deux nombres qu'on veut comparer,, 

 et soit pris l'auxiliaire o, de manière qu'on ait (-^) = — 1 , et 



(-— j = — 1 , il s'ensuivra , par ce qui a été démontré i — j= — 1, et 



{ — ) = — 1. Donc des trois conditions précédentes, la première' 



\ ) = 1 a lieu d'elle-même , et les deux autres deviennent 



f — - j == — 1 , \-f) = — ï. Celles-ci ne pourront avoir lieu simul-^ 

 tanément.^ Donc 



VIII. Si l'on a (—) = —i, il s'ensuit (-|-^=r + i. 

 C'est le huitième et dernier cas de la proposition générale^ 



(16g) En examinant les différentes parties de cette démonstra- 

 tion , on aura remarqué sans doute que les cas IV , V et VII sont 

 démontrés dixectement et sans le secours d^aucune supposition.. 

 Quant aux autres cas , la démonstration est fondée sur l'existence 

 d'un auxiliaire qui satisfait à deux conditions : ainsi les cas III et VI 

 sont démontrés à l'égard de deux nombres quelconques a et b, 

 le premier de la forme 47z+ i , le second de la forme in — i , en. 

 supposant qu'ion peut trouver un nombre auxiliaire u^ tel que 



