s E C O N D E P A R T I E. 221 



I. Si l'on a (—-) = i , il s'ensuit (—) = i 



II. Si l'on a (-— j = — i, il s'ensuit T — )=: — 1. 



Ainsi la démonstration des cas I et II ne suppose plus autre chose , 

 sinon qu'on a (— j = — 1 , ou que le nombre auxiliaire è divise 

 la formule x''-^-^, 



(171) C'est ici le lieu de placer quelques théorèmes assez impof* 

 tans , dont plusieurs ne peuvent se démontrer qu'à l'aide de la 

 loi de réciprocité qu'on vient d'établir. 



Tout nombre premier 4n+i qui divise la formule t^'-f-au'', est 

 en même temps diviseur de la formule t'* — au"*, et réciproquement. 



Car soit c ce nombre premier, la condition pour que c divise 

 r + ûz^' est { ) =4- 1 , et la condition pour qu'il divise t^ — au"^ 



est (-)=+! : or ces deux conditions reviennent à la même , parce 



que est pair. Doue si l'une a lien , l'autre a lieu nécessai- 



rement. 



On peut aussi démontrer la même proposîtîdn , en résolvant 



ieqnation — ' ^= e d après 1 équation donnée ==<?/ pour 



c G 



cela , il faut satisfaire à l'équation — = e. Or puisque c est 



de la forme 4az+ 1 , on peut supposer d'abord c ^f" -t g'' •, ensuite 

 on aura la valeur de a; , au moyen de l'équation ^^a: — cj = g^, 



(172) Tout nombre premier 4n— 1 qui divise V-^-d^M^yne peut 

 être diviseur de V — au"*, et réciproquement. 



Car soit ce nombre premier =c, la condition pour que c dirise 



ir')rau% est Q^^ = i , ou (-^=^-^1 -^ et la condition pour qu'il 



