224 THÉORIE DES NOMBRES. 



(17g) Tout nombre premier c de la forme Sn-fS ou 8n4-5, 

 divise toujours l'une des deux formules V ■'\-siu''yt'' -^ 2 au.'', mais n'en 

 peut dipiser qu'une. 



Car dans les formes mentionnées on a ( — j = — ij donc les deux 



quantités ( j etf j sont de signes contraires. Donc il faut 



que l'une de ces quantités soit + 1 et Fautre — 1 ; d'où il suit 

 que c divise Fune des deux formules dont il s'agit, et ne divise pas 

 Fautre. 



B^emarquez que dans ce théorème , ainsi que dans le précédent , 

 a est un nombre quelconque positif ou négatif. 



(180) Nous ne nous arrêterons pas à multiplier davantage ces 

 sortes de théorèmes, mais nous cro3''ons que les Géomètres verront 

 avec plaisir l'application de notre loi de réciprocité à la démonstra- 

 tion de deux conclusions générales auxquelles Euler est parvenu , 

 par voie d'induction, dans ses Opuscula ^nalytica ^ tom. I, et 

 qui sont la base d'une théorie importante. La première est conçue 

 à-peu-près en ces termes : (Voyez l'ouvrage cité, pag. 276.) 



« Si tous les quarrés successifs 1 , 4 , 9, 16 , &c. sont dipise's 

 )i par un même nombre premier 4n4-i , les restes des divisions 

 )) comprendront non-seulement tous les nombres contenus dans les 

 )) formules n — qq — q et qq + q — n, niais encore tous les facteurs 

 )) premiers dont ces nombres sont composés)). 



D'abord il est facile de voir, que puisque ^ = 4/2+ 1, on satîs- 



fera à Féquation — — — . = ^ , en prenant 207=25^-1- izinc, 



■îc* "4" a 



D'ailleurs e étant de la forme 4/2-1-1 , si Féquation =^ e 



c 



est possible, l'équation — — Fest également 5 donc , en effet , 



tout nombre compris, soit dans la formule n- — qq — q ^ soit dans la 

 formule qq-\-q — tz, ou ce nombre diminué d'un multiple de c, 

 peut être regardé comme le reste d'un quarré divisé par c. Cette 

 première partie du théorème ne souffre aucune difficulté , ainsi 



qu'Eule^ 



