s E C O N D E P A R T I E. 226 



qu'Euler lui-même Va fait voir. Venons à la seconde qui exige rem- 

 ploi de la loi de réciprocité. 



Soit a un nombre premier qui divise n — çç — ç ou qq-\-q — n y 

 on pourra faire qq + q — /z = dbct^y donc en multipliant par 4, 

 puis mettant au lieu de 4/2 sa valeur c — 1 , on aura 



("2^+1/— c — ±4*^. 

 De-là, en omettant les multiples de a^ on tire c^=('2q-\-i)^ -, donc 



C * ou suivant notre notation ( — j — (2q-\- 0*~' =1. Mais de ce 



que ( — j = 1 , il s'ensuit par la loi de réciprocité ( — J= ij donc c 



€st diviseur de la formule x"" — «. Donc a, doit se trouver parmi les 

 restes des quarrés divisés par le nombre premier c , ce qui est la 

 proposition d'Euler. 



(181) La seconde conclusion générale (Voyez l'ouvrage cité, 

 pag. 281) est celle-ci, 



« 6ï l'on dipise les quarrés 1 , 4, g, 16, &c. par le nombre 

 premier 4n — 1 , les restes des divisions comprendront non-seu- 

 lement tous les nombres représentés par la formule n + qq+q, 

 mais encore tous les facteurs premiers dont ces nombres sont 

 composés )) , 



Pour satisfaire à la première partie , il faut trouver un nombre x 

 tel que o?^ — (n-\-qq-\-q) soit divisible par le nombre premier 

 cr=4/z — I 5 or c'est ce que l'on obtiendra immédiatement, en 

 prenant 2 ,37=2 5^ + 1 d= c. Donc le nombre ri'^qq-^q^ ou ce nombre 

 diminué d'un multiple de c, est toujours le reste d'un quarré a;* 

 divisé par c. 



Soit en second lieu a un nombre premier qui divise n-\-qq-\-q^ 

 si l'on fait n-\'qq-\-qz=a,^ ^ on en déduira comme ci-dessus, 

 C2 2'+iJ* + c=4£t^. Donc en omettant les multiples de *, on a 



c^='^(2q-\-i)^'y donc ( ^ = 1. Cela posé, il y a deux cas à 



distinguer. 



1^ Si fit est de la forme 4/72+ 1 , l'équation ( — j = 1 est la 



Ff 



