252 THÉORIE DES NOMBRES. 



calculer les difFérens termes de la suite c — a. ic — a, ^c—a, 

 j^c — a, &c. , jusqu'à ce qu'on en trouve un qui soit un quarré 

 parfait et qui donnera la valeur de x" j cette suite , au reste , con- 

 tiendra nécessairement le quarré qu'on cherche , quarré qui doit 

 être moindre que ^ c* , ainsi le nombre de termes à calculer ne 

 peut excéder ^c. 



Par exemple , si Ton a à résoudre l'équation — ~ — ^=^', 



/ Î22Q \ 



dont la possibilité est déjà établie par la condition f -~- j=; i , il 



faudra former les différens termes de la progression arithmétique 

 dont le terme général est 64 1 e — 229. Cette progression est 4i2 , 

 io53 , 1694, 2355 , &c. mais il faut la continuer jusqu'au 94*'°*' 

 terme avant qu'on trouve le quarré 60026 dont la racine 245=,r. 

 Il est vrai qu'on peut passer sur beaucoup de termes , lorsqu'on 

 prévoit que le chiffre qi:ii les termine n'est pas un de ceux qui 

 conviennent aux quarrés (1). Mais le travail est encore assez long 

 par cette voie , lorsque le nombre cherché x n'est pas beaucoup 

 plus petit que {o. 



(187) Pour rendre cette détermination moins laborieuse^ on 

 pourra avoir recours aux propriétés des diviseurs qui seront démon- 

 trées ci- après. En vertu de ces propriétés , tout diviseur de la 

 formule f-\-au^ est lui-même de la forme j'^-|-(3z% ou au moins 

 il devient de cette forme , en le multipliant par un nombre p 



(1) Le quarré de lom-f-^ est ioom*+2omn-j-;i' , donc le chiffre qui ter- 

 mine le quarré de iom-\-n , est le même que celui qui termine le quarré de n. 

 Mais les nombres o , 1,2, 3 • . . 9 ont leurs quarrés terminés par l'un des chiffres 

 o, 1, 4,5,6, 9; donc aucun quarré ne peut être terminé par 2,3,7, ^- ^^ 

 peut ajouter à cette observation , 1°. que si le dernier chiffre d'un quarré est o, 

 il faut que les deux derniers soient deux zéros. 2°. Que si le dernier chiffre est 5 , 

 les deux derniers doivent être 25. 3°. Que si le dernier chiffre est impair, l'avant- 

 demier doit être pair. 4°. Que si le dernier chiffre est 4 , l'avant- dernier doit être 

 pair, afin que tout le nombre soit divisible par 4. 5°. Que si le dernier chiffre est 6 , 

 ^'avant-dernier doit être impair par la même raison. 



moindre 



