234 THÉORIE DES NOMBRES. 



§. VIII. De la manière de déterminer x pour que x^-h-a 

 soit divisible par un nombre composé quelconque N* 



(188) Soit c un nombre premier, et a un nombre quelconque 

 non- divisible par c , si l'on demande la valeur de x telle que x'^-^-a 

 soit divisible par c"', cherche? d'abord par ce qui précède la valeur 

 de ô qui rend ô*+a divisible par c, faites ensuite (^ -■{•}/ — a)"" 

 z=ip-\-q\/ — ûîjvous aurez de même (^ — \/ — a)'"=p — q)/ — a, 

 et le produit de ces deux équations donnera (^â^4-«7"=/9^ + û!^% 

 donc p^-i-aq'' est divisible par c'". Dans ce résultat, q et c sont 

 premiers entr'eux 5 ainsi on pourra supposer p^qx-^-c'^j^ et 

 x^ + a sera divisible par c'", ce qui est la question proposée. 



Nous venons de supposer que q n'est point divisible par c ; car 

 s'il l'étoit, p le seroit aussi en vertu de l'équation (&'' + a)"'=p'' + aq'' 

 dont le premier membre est divisible par c"'. Mais on a 



m. m — i„ m. m — i.m — 2,771 — 3^ , . 



r, — ô-n^u 9"'-^«+ ; Ô'"-V— &C. 



•^ 1.2 1.2.5.4 



Et puisque 9^-{-û! est divisible par c , on peut mettre — 9^H-^c à 

 la place de a , ce qui donnera p de cette forme 



771.771 I 771. 771 1 . 771 2 . 771 3 



V 



. / 711.771 I 771.771 \ .771 1.771 O „ \ t-, 



= ô'"(i + +. — + &c. yvBc, 



V 1.2 1.2.3.4 / 



ou p = 2"'^' ô'"-!- jBo; mais 9 n'est point divisible par c, donc p 

 ne peut l'être , ni par conséquent q. 



Si le nombre a est divisible par c , la quantité x'^-\- a sera divisible 

 par c, en prenant x^=o ou un multiple de cj mais il sera souvent 

 impossible que x^'-^-a soit divisible par c" ou par une puissance 

 plus élevée de c ; par exemple , si a est divisible par c et non 

 par c^, il est évident que jamais x''-\-a ne peut être divisible par c\ 



(i8g) Il est facile maintenant de trouver , lorsque cela est possi- 

 ble , la valeur de x , telle que x''-\-a soit divisible par un nombre 

 composé quelconque N. 



