236 THÉORIE DES NOMBRES. 



xr=ieox'^ etFéquation à résoudre — — — =e, deviendra -~-^rp- =^ é'. 



Dans celle-ci « et iV"' doivent être premiers entr'eux , car s^ifs 

 avoient un commun diviseur t, il faudroit que a fût aussi divi- 

 sible par TT ( sans quoi Féquation à résoudre seroit impossible ) ; 

 donc co^-i ne seroit pas le plus grand commun diviseur de a et N y 

 contre la supposition. 

 = . "^Puisque « et iV' sont premiers entr'eux , on pourra trouver deux 

 "'èniiersyet g- tels qu'on ait /"&> — gN' = i ; multipliant donc par/" 



Féquation — =<?> et mettant gN'-\-\ à la place àe fu> ^ 



cette équation deviendra -i-^ — = e; et ainsi la question est 



ramenée au cas précédent où iV" et w sont premiers entr'eux. 

 11 faut maintenant examiner combien dans ces difFérens cas 



l'équation — = e pourra avoir de solutions ou valeurs de x 



moindres que -^-iV. 



(190) Si N est impair et premier ri a , /(? nombre de solutions 



de r équation ^=- e , sera 2'"', i étant le nombre des facteurs 



premiers dijférens qui divisent N. 



Soit d'abord N=^ ct^\ «- étant un nombre premier , je dis qu'il 



x"^ -\- a 

 n'y aura qu'une manière de satisfaire àl équation — — — ■=■ e. Car 



s'il y avoit deux solutions désignées par x et x\ il faudroit que 

 ^= — x'^ fût divisible par a^j et comme aucun des facteurs .r-fx', 

 X — x' n'est divisible par*^, puisque x et a;' sont supposés iné- 

 gaux et plus petits que ^a , il faudra que ces facteurs ^ + x', 

 X — X soient'tous deux divisibles par a , donc leur so>mme nx seroit 

 également divisible par a. ; mais si x étoit divisible par a , il fau- 



droit que a le fût aussi , d'après l'équation = e. Donc puis- 



et 



2 I 

 X I /T. 



que a et JVsont premiers entr'eux , l'équation — - — = e ne pourra 



A. 



a, 



avoir qu'une solution moindre que ^a . 



