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Soit en second lieu N=:a^ c'^' , et soient ^ et B les valeurs de x 



, r , . x''-\~a x~-\-a 

 qui satisiont aux équations = ^ ^ = e ; si on corn- 

 et a, 



bine ensemble (11°. i4 ) les deux valeurs ar=-.'/ + a 7, jX=d=i^-|-é" z, 

 il est clair qu'on aura , à cause du signe rfc , deux valeurs de x de 

 la forme .r^X-f * c'^' x' =:^ K + N x\ chacune desquelles peut être 

 rendue moindre que ^N en prenant pour x la valeur convenable. 

 Donc dans le cas des deux facteurs inégaux ci , ^ , l'équation pro- 

 posée aura deux solutions. 



S'il y a un troisième facteur a. , il faudra combiner la valeur 



trouvée x=:.K-\-ct, ^'.t', avec une troisième formule :r=rfcC4-7/ ^, 

 et il est évident que l'on aura quatre solutions de la forme 

 K'-\-A C^y x" , OU K' + Nx" , lesquelles pourront être rendues 

 moindres que ^N. 



En général , chaque nouveau facteur double le nombre des solu- 

 tions obtenues par les fadeurs précédens. Donc on aura en tout 

 2'"' solutions , i étant le nombre des facteurs et , S^'^y , &c. dont N 

 est composé. 



X^ -U (2. 



Remarque. Toutes choses restant les mêmes , l'équation - — — — =:^ 



aura également 2'~' solutions. Car si 9 est une valeur de x qui rend 

 x^-\-a divisible par JV", cette même valeur , ou au moins N — 9 , 

 rendra a;* + « divisible par zN. 



(igi) Soit N impair ou double cV un impair y si les deux nombres 

 N ^/ a ont un commun diviseur « , lequel ne soit divisible par aucuû 



quarre y je dis que l équation — — — r=e aura toujours 2' ' solu^ 



lions y i étant le nombre de facteurs premiers impairs et inégaux 



qui divisent N sans diviser a. 



En effet, soit N=o)N', a = cox', l'équation proposée deviendra 



éùx'" ~{- a^ 



~ — = e , et parce que w etiV' n'ont pas de commun diviseur^ 



on peut faire y« — gN'=i , ce qui donnera l'équation réduite 



