238 THÉORIE D E S N O M B R E S. . 



f — z=e. Or celle-ci, où N' et fa' sont premiers entr'eux, 



aflmet autant de solutions qu'il y a d'unités dans i'~\ i étant le 

 nombre de facteurs premiers impairs et inégaux q;ii divisent N' ; et 

 si Ton fait en général :u'~iî 4- iVV',on aura a-=&)9 + «iV^V=w9 + iVV. 

 Donc il y aura autant de valeurs de x moindres que -^iV" qu'il y a de 

 valeurs de x' moindres que ^N'i donc le nombre de ces valeurs est 

 égal à 2'~'. 



(192 ) Si le nombre N , impair ou double cVun impair , a un 



commun diviseur quelconque av^ec a , et que ce diviseur soit repré-^ 



sente par u)\^ y en sorte quon ait N = 4''«N', w n étant divisible 



. ,. „, . x' + a 



par aucun quarre , je dis que l équation — — — = e aura autant 



de solutions quHl y a d'unités dans 4'«2^~' , i étant le nombre de 

 facteurs premiers impairs et inégaux qui divisent N'. 



Car dans ce cas, on a a=4.'«<2', ^r^^^^'j et l'équation à 



biX '\- a TU 11 



résoudre devient ,:,, — — e , laquelle , commue on a vu dans le 



îi". précédent , donne i''' valeurs de x moindres que jiNT'. Soit en 

 général a;' = 9 + iVV, on aura donc ^ =4«ô-4-^|,&)iVV; or comme 

 il suffit que les valeurs de x soient moindres ou non plus grandes 

 que {N^=^^'\-''oùN\ il est clair qu'on peut donner à x" les valeurs 

 successives o , =fc 1 , ± 2 , &c. jusqu'à =b^ C4 — O- Le nombre dç 

 ces valeurs est évidemment 4 ; donc chaque valeur de x' moindre 

 que ^iV"', donnera 4 valeurs de x moindres que ^iV; donc le nombre 

 de toutes les valeurs de x sera 4» 2'""'. 



Remarque. Cette formule est vraie , même lorsque ?= o , c'est- 



A-dire lorsque le nombre iV ou au moins sa moitié est diviseur de aj 



dors elle se réduit à ^4^ niais il faudra compter comme entier la 



, raction contenue dans j4 , de sorte que si 4 = 2^+1, on prendra 



h-\-i pour 7 4« 



