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§. X. Recherche des formes linéaires qui conviennent aux 

 diviseurs de la formule t^-hcu\ 



JN o us examinerons d'abord le cas où c est un pombre premier , 

 ce qui fournira deux tliéorêmes principaux, 



(196) Théorème. Soit c un nombre premier 4 n 4- 1 , ^^ A w/z divi-^ 

 seur impair quelconque de la formule :&.^ ■{■ c ou V ■\- c Wjje dis qu'on 



aura { — j = 1 si A est de la forme 4n-{- 1 , et ( — j = —1 5* A 



est de la forme 4 n — 1 . 



Car soit * un nombre premier 4/2+ 1 , et C un nombre premier 

 4 n — 1 , tous deux diviseurs de Jt;* + c , on aura , suivant le n°. i34 y 



(^') = ' ^K^)='' °" (^)=',et(-f) = -..De-Uon 

 conclut , par la, loi de réciprocité , ( — j = 1 , et ( — ) =—1, 



Mais le nombre ^ , s'il est de la forme in-f-i , est le produit d'un 

 nombre quelconque de facteurs * par un nombre pair de facteurs ^, 



donc dans ce cas ( — j= 13 et si le nombre ^ est de la forme 



4/2 — i,il résulte du produit d'un nombre quelconque de facteurs a 

 par un nombre impair de facteurs €", donc dans ce second cas on 



Corollaire. Donc si on désigne par b l'un des nombres 



2 



impairs moindres que 2 c qui satisfont à l'équation ( — j = 1 , on 



aura ^ =^2cz + b. Mais parmi les nombres b , on peut conserver 

 ceux qui sont de la forme in-\- 1 , et ajouter 2c à ceujc qui sont 



de la forme An — 15 on aura par ce moyen nombres de 



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