244 THÉORIE DES NOMBRES. 



la forme 4/2+ 1 , moindres que 4 c. Soit a un de ces nombres , on 



aura ^■=^^cz-\-a^ ce qui donnera formes linéaires des divi- 

 seurs 472+1 de la formule i*+cw*. 

 Pareillement , si on réduit à la forme 47z— i toutes les solutions 



de l'équation ( — J= — i , ce qui se fera , en conservant les nom- 

 bres 4/2 — 1 , et ajoutant 2c à ceux qui sont de la forme 4n+ 1 , 



c~~*i 

 on aura nombres de la forme 4/2 — i , et moindres que 4c,- 



2 



soit a l'un quelconque de ces nombres, et l'expression 4c2 + a 

 sera la forme générale des diviseurs 4 n — i de la formule f^-^-cu". 



Ainsi , par exemple , les diviseurs 4/2+1 de la formule i'+4iM* 

 seront compris dans la formule 



'.4j/=i64;5+ 1,5, 9, 21 , 265 33, 37,45^ 49, 5j', 61 , 7.3,77, 

 81, 1005 ii3, 121, 120, i33, i4i. 



Et les diviseurs 4^2 — 1 de la même formule seront compris dans 

 la formule 



^= i64z+ 3^ 7, 11, i5, 19; 27, 35, 47, 55^ 63; 



67» 7^7^)79)953 99) m) i^^) 1^7, i5i. 



On conclura de-là, par voie d'exclusion , les diverses formes , soit 



4/2+1 , soit 4/z — 1 , qui ne divisent point /'' + 4i //*. En général, 



il est aisé de voir qu'il y aura toujours autant de formes pour 



les non-diviseurs que pour les diviseurs , ce nombre étant égal à 



c~**— 1 



• soit dans la forme 4 /2+ 1 , soit dans la forme 4/2 — i. 



2 



Remarque. Tout nombre premier contenu dans les formes linéaires 

 des diviseurs de f^-^-cu" est nécessairement diviseur de /"+cw*. 

 Car soit ^ ce nombre premier , s'il est de la forme 4 /2+ 1, on aura 



( — j=^ I , donc (— j = i , donc ^ est diviseur de t*-\-cu^. 



Si ^ est de la forme 4/2 — 1, on aura ( — J = — i, donc 



(— j = — 1 , donc ^ est diviseur de r + cw*. 

 Cette remarque est le fondement d'un grand nombre de propriétés 



