254 THÉORIE DES NOMBRES. 



présent que le cas de c positif, la formule t — cu^ se tralteroit 

 de la même manière ; et on auroit les mêmes résultats quant au 

 nombre des formes 4^2 + a, qui conviennent aux diviseurs de cette 

 formule. Mais dans tous les cas , on peut trouver ces différentes 

 formes linéaires y par un procédé plus simple , et qui conduit à 

 de nouvelles propriétés. 



(204) On a déjà vu (n°. i38) que les différens diviseurs d'une 

 formule telle que f-d^cu" peuvent toujours se réduire à la forme 



^ = p j^ 4- 2 §' / z ± r 2% 

 dans laquelle on a prq^/ — c , et où l'on peut supposer iq non 

 plus grand que p et r. Au moj^en de ces conditions , il est facile 

 de déterminer a priori toutes les formes des diviseurs qui répon- 

 dent à un nombre donné c. Les formes pj"+2 ç'rz±r2% con- 

 tenant des indéterminées au second degré , seront appelées dé- 

 sormais formes quadratiques , pour les distinguer des formes li- 

 néaires 4ca7+ a, dont nous nous sommes occupés dans ce paragraphe 

 et dans le précédent. 



Supposons donc qu'étant donné le nombre c on a déterminé 

 d'abord toutes les formes quadratiques qui conviennent aux divi- 

 seurs de la formule proposée td^ca^ il ne restera plus qu'à déve- 

 lopper ces formes quadratiques en formes linéaires , on aura ainsi 

 toutes les formes linéaires qui conviennent aux diviseurs de cqtte 

 formule , on aura de plus l'avantage de connoître la correspon- 

 dance qu'il y a entre les formes quadratiques et les formes linéaires. 



Tout se réduit par conséquent à voir ce que devient la formule 

 pi/'-f 2^jz±rz% lorsqu'on y substitue, au lieu de 7 et z, des 

 nombres quelconques déterminés , et qu'on met les résultats sous 

 la forme 4cx + a , où l'on peut négliger les multiples de 4c, et ne 

 conserver que le résultat positif et moindre que 4 c. 



Or il n'est pas nécessaire , dans cette substitution , de fairejK ni z 

 plus grands que 2 c ; car si à la place de jk et z on substitue 2 c+jk 

 et2c-l-z, laformule/?jK' + 2$^j2=izr>s* deviendra 



p(ic^yy-\-iq(i c-\-y) (2C + z)z^r(2C-i-z/ , 

 quantité qui se réàmi k py' + 2qy zzi:^rz'-\-icM , 4cJiétantun 



