s E C O N D E P A R T I E. 255 



multiple de 4 c; de sorte que ces valeurs 2 c-'rjr , 2C'\-z donneront 

 la même forme linéaire 4cx4-a qu'avoient donnée j^ et z. 



Il faut éditer également de donner à j çt z des valeurs qui 

 rendroient pj''-}- 2 qj z rt rz" pair , car nous ne considérons ici que 

 les diviseurs impairs , et de plus , les diviseurs premiers à c. 



Pour remplir plus sûrement cette condition , il sera bon de pré- 

 parer le diviseur quadratique p y ""-{■ 2 çy z^tzrz'' de manière que r 

 soit pair, car alors p étant impair, on donnera àj des valeurs 

 impaires quelconques , et à z des valeurs paires ou impaires à vo- 

 lonté. Si r n'est pas déjà pair dans le diviseur , il suffira de mettre 

 J'=±=-2 à la place de y , et la transformée aura son dernier terme 

 pair. Nous aurons occasion aussi , dans certains cas , de donner aux 

 diviseurs quadratiques la forme pj^ + Çfz f rz' dans laquelle les 

 trois coefficiens sont impairs. Alors il faudra supposer successive- 

 ment z = 2z/, j:=2u, z-\-yz=-2u ^ ce qui donnera trois for- 

 mules ayant la condition requise ; mais on verra que le dévelop- 

 pement d'une de ces formules suffit. 



(2o5) Considérons donc la formule ^ ^=py''-\-iqj zd^i m z*^ 

 où l'on a 1 mpr:fzq^z=zc ^ et dans laquelle j/ doit être impair, 

 ainsi que p. Si on suppose q eX. c premiers entr'eux , jd et c seront 

 aussi premiers entr'eux. Cela posé, si l'on fait j/= 1 , je dis que 

 la formule 77 + 2 ç'^|.± 2 77z4% où il ne reste plus que 4 d'indéter- 

 miné, contiendra toutes les formes linéaires 4 cx-fa, qui sont com- 

 prises dans la formule \)T o'^osèe pj''-\- 2 qj z:±z'2 m z"". 



Il faut prouver pour cela que, quelles que soient jk et z , on 

 pourra toujours trouver une indéterminée 4 telle que 

 p-t-2 y4^ 2/724" — pj^ — iqyz^=yiimz' 



soit un entier. En effet, puisque /> et 4c sont premiers entr'eux, 

 la quantité précédente sera un entier , si son produit par p en est un , 

 c'est-à-dire si l'on a 



(p-\-q\y—(py'Vqzyd^c(\-'—z') 

 ■ — ; r=e. 



Soit d'abord 4 = >s + 2x , et il suffira de satisfaire à la condition 

 (p + qz-{-2qK)-—(pr + qz)^ 

 4e— -'' 



