256 THÉORIE DES NOMBRES. 

 C'est ce qu'on peut obtenir, en prenant une nouvelle indétermi- 

 née â , telle que 



or cette équation sera toujours résoluble , puisqu'elle peut être 

 mise sous la forme 



où c et y sont premiers entr'eux, et où d'ailleurs le second membre 

 est un entier. 



Donc pour déterminer toutes les formes linéaires de la formule 

 u4 =p'y''-\-2 çyz:à=: 2/7zz% il suffira de déterminer celles de la for-^ 

 mule plus simple 



ce qui se fera , en donnant à -4- les valeurs successives o, ij 2,3, &c. 

 jusqu'à 2c — 1 , ou seulement jusqu'à c-^i siçf^o. Les valeurs 

 de u^ se calculent aisément par le moyen de leurs différences , 

 et en omettant les multiples de 4c à mesure qu'ils se présentent. 

 Ensuite on rejettera parmi tous les résultats ceux qui sont iden- 

 tiques avec d'autres , et ceux qui ont un commun diviseur avec c. 



(206) Si ç' et c ne sont pas premiers entr'eux , il sera toujours 

 facile de transformer la formule pjy^-\-'2çjz:àz2mz'^ enune autre 

 semblable , dans laquelle q soit premier à c ; de sorte qu'on doit 

 regarder comme absolument général le procédé qu'on vient d'indi- 

 quer, Cependant nous dirons encore deux mots du cas particulier où 

 la formule proposée est y^zizcz'' ou ay'':±z bz"^. 



Si l'on a ^ =^j'^ — ^ -2% il faudra distinguer deux cas , selon que 

 c est pair ou impair, 



1°. Si c est impair , on supposera d'abord j impair et z pair, 

 ce qui , en rejetant les multiples de 4 <^ ? réduit la valeur de ^ au 

 seul terme jj''', d'où résulte ^= 1 , 9 , 26 , &c. ; on supposera en- 

 suite y pair et z impair, ce qui donnera ^ =ziu'^zt:c y et ainsi 

 on formera la suite 4db<?, i6=i=c, 36 ±c, &c. , ayant toujours 

 soin de rejeter les multiples de ^c. Les résultats provenus de ces 

 deux suppositions , composeront toutes les formes linéaires de ^. 



3°, Sic est pair, il faudra nécessairement que/ soit impair, mais^ 



et 



