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que nous sommes sûrs maintenant que les termes précédens revien- 

 dront , et qu'on n'aura aucun nouveau terme. Donc en rassem- 

 blant les résultats trouvés, et excluant 4i =c , on aura les 20 

 formes suivantes qui répondent au diviseur proposé 5j'''-h4jz + 9z% 

 ou 5y''-^6yz-\- loz' ; ces formes sont : 



^r=i64^+ 1, 5, 9, 21, 25; 33, 3;, 45, 49, Sy; 

 61,73,77,81, io5,ii3, 121 ^125, i33, i4i. 



Prenons maintenant la formule quadratique ^ =j^'-f 4 1 ^' ; en 

 supposant d'abord z pair , il suffira de développer la valeur jk* d'où 

 résulteront les mêmes 20 formes qu'on vient de trouver. Soit en- 

 suite j' pair et z impair, on aura à développer la valeur^— 4^" + 91, 

 de laquelle résulteront toujours les mêmes formes. Enfin la troi- 

 sième forme quadratique ^=2ij>^" ^lyz + 'iz'' des diviseurs 4/z-f 1 

 donne encore les mêmes formes , et en effet les formes trouvées 

 comprennent toutes celles qui ont été déterminées a priori pour 

 les diviseurs 4 7z+i de la formule r + cw% le développement des 

 différentes formules ne pouvoit donc fournir d'autres formes que 

 les 20 déjà trouvées n°. 196; mais on voit que chaque formule 

 particulière les fournit toutes^ et c'est une propriété que nous 

 allons démontrer en général. 



(208) Si c est un nombre premier 4n+ 1 , ^^-^ diffe'rens diviseurs 



quadratiques 4n+i de la formule V-\- eu*, fourniront tous les 



c — I . . 



mêmes formes linéaires 4 c z + a , a ayant pâleurs positwes 



moindres que ic , et ces valeurs ne seront autre chose que les 

 solutions de V équation ( ) = i réduites à la forme 4n + i. Pa- 

 reillement tous les diviseurs quadratiques 4n — 1 delà même for- 

 mule fourniront les mêmes formes linéaires 4cz + a, a ayant 



valeurs qui sont les solutions de V équation f — J = — 1 , ré-. 



duites à la forme 4n — 1. 



En effet soit py^ ■\-'2 qy z + 2mz''z=^ un diviseur 4/2+1 de la 

 formule t'^-\-cu'', p étant par conséquent de la forme 4/z+i ; il 

 faut prouver que les formes linéaires tirées de cette formule coin^ 



Kk2 



