268 THÉORIE DES NOMBRES. 



nécessairement impair. Mais il faut distinguer deux cas selon que a 

 est de la forme 872+1 ou 8/24-5. 



i*^. Si a est de la forme 872-1-1 , alors q'-'ta sera de la forme 

 8 «-{-2 eX. pm de la forme 4/2+1 , ce qui ne peut avoir lieu, à 

 moins que les nombresp et m ne soient tous deux de la forme 4/2+ 1, 

 ou tous deux de la forme 4/2 — 1 ; donc alors les formes conju- 

 guées pj/°+ 2 ç'j'z + 2/72^^, '2pj''+ 2q yz -^ mz'' appartiennent 

 toutes deux aux diviseurs 4/2+i , ou toutes deux aux diviseurs 



4/2 — î. 



2°. Si a est de la forme 8/2 + 5 , pm sera de la forme /{n-\-Z , 

 de sorte que les deux nombres/) et m seront , l'un de forme 4/2-i- 1, 

 l'autre de forme 4/2 — 1. Donc alors les deux formes conjuguées 

 appartiennent, l'une aux diviseurs 4/2+1 , Fautre aux diviseurs 

 4/2 — 1. De-là on voit que a étaiit un nombre quelconque 8n + 5, 

 la formule t^' + au^ aura toujours autant de diviseurs quadratiques 

 4n+i que de diviseurs quadratiques 4n — 1. 



(216) Les diviseurs quadratiques de la formule t^-^ctu'' étant 

 trouvés par la méthode générale , il sera toujours facile de les 

 réduire à la forme pj''-\-'2qy z-^-i mz% oùq est impair ; car il n'y 

 aura à transformer que ceux où ç' seroit pair, et dans ceux-ci 

 il suffira de mettre y — z à la place de y. 



On peut aussi trouver directement tous les diviseurs quadratiques 

 d'une formule donnée r- + ttz/% réduits à la £orme py^ -]- 2 qjz -\- 2m z^. 

 Pour cela , il faut observer qu'en laissant q impair, on peut tou- 

 jours faire en sorte que q n'excède ni j^ ni m. Car en substituant 

 y — 2otz à la place de j , si on a q^p 5 o^ ^ — ^J à la place 

 de z ^ si on a ^ > //2 , On déterminera aisément le nombre a. de 

 manière qu'on ait dans la transformée q </? , on q <C m. Donc par 

 une ou plusieurs substitutions de cette sorte , toute formule 

 py''-{-2qj z-\-2 fîiz'' j dans laquelle 2/7 //z — ç-^ = cî pourra être ra- 

 menée à une formule semblable , où q n'excédera ni p ni fn , de 

 sorte qu'on aura 2pm — q^>q% et par conséquent q< y/ a. 



Donc pour avoir toutes les formes quadratiques/?/^ + 2^j/z + 2/77z° 

 qui conviennent aux diviseurs de la formule t^ + au^,'û faut donner 

 à'q les valeurs impaires successives 1 , 3 , 5. . . jusqu'à y' a. Chaque 



