flyo T H É X) R I E DES NOMBRES. 



Dans cette équation , les nombres u et ip sont premiers entre 

 eux ', car s'ils avoient un commun diviseur , t élu qu auroient un 

 aussi, ce qui est contre la supposition 3 donc on peut faire w=^ 

 et tz=z2py-\-qz ^ ce qui donnera 



Or cette équation ne peut subsister , à moins que — ne soit 



un entier 3 soit donc 5'^ + a= 4/? r , et on aura 



P = py"" -f qy z + r z\ 



Dans cette formule , il est aisé de voir que les trois coefficiens 

 p t q ^ 7' sont impairs; car d'abord puisque t est impair , et qu'on a 

 t^=ipy-\-q z , il est clair que q est impair ; ensuite ç'* étant de 

 la forme 8/z-f 1 , et a de la forme 8az + 3, q'^-^-o- est de la forme 



8 72 + 4 ; donc -^-— ou p r est impair 3 donc p et r sont impairs, 



De-là on voit que tout diviseur impair de la formule t''-\-au* 

 peut toujours être réduit à la forme py^' + q y z-\-rz'- où l'on a 

 p ■) q , 7* impairs et 4:pr — q^z=:za. Je dis de plus, que dans cette 

 formule on pourra supposer le coefficient mo^'^en q plus petit, ou an 

 moins non plus grand que chacun des extrêmes p et ?' j en effet si 

 on avoit , par exemple ■> q'^ p •, on meltroit y^ — a.z à la place àey, 

 et le coefficient moyen devenant q — lap , on pourroit , au moyen 

 de l'indéterminée et , rendre ce coefficient plus petit ou au moins 

 jion plus grand que p. 



Puis donc que p et r sont plus grands ou non moindres que q^ 



il est clair que ipr—r q'-" sera > 3 §'*, et qu'ainsi on aura q <,V^ ^' 



Donc pour avoir toutes les formes quadratiques qui conviennent 

 aux diviseurs impairs de la formule t^' + au'', il faudra donner à q 



les valeurs impaires successives 1 , 5, 5 jusqu'à y-: chaque va- 



leur de q en donnera une pour pr=— , et si cette valeur 



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peut se décomposer en deux facteurs non moindres que q , ï\ en 

 résultera une des formes quadratiques demandées. 



