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qu'il suppose le développement efFectif des diviseurs linéaires tant 

 de la formule l'^-^-cu" que de la formule t"" — cz/% c'est pourquoi il 

 convient de suivre une autre route pour parvenir à la démonstra- 

 tion générale de la proposition. 



(227) Observons d'abord que la forme linéaire 4^^ + 35 à laquelle 

 se rapporte le nombre premier ^ , peut toujours être censée l'une 

 de celles qui répondent à un diviseur quadratique. Soit ce diviseur 

 pj^'' -f 2çj^z zt rz''^ et on pourra supposer joj/" + 2gjz i±: rz''^^ kcx + 35 

 ou , ce qui est la même chose , 



■py^Ariqy zrr^r z^■=^k:CX-\-'^• 

 ÇJQ^^.Q équation multipliée par p , donnera 



(py-\-q z^zhi^c z^ ^=-k:-pcxAr-^p j 



d ou Ion voit que — est un entier : donc , a plus 



c 



forte raison , si 9 est un nombre premier qui divise c , l'équation 

 r= e sera résoluble , et par conséquent on aura ( — 7— ) = ^ 7 



ou \-r\ . ("7" j= * j n\^\s en général on a T— - j= -f- 1 ou — 1 , 



<3onc {^ . (y)= 1 , et par conséquent (y)— (y)- 



Nous pourrions considérer le cas particulier de p = 1 , et celui 

 dej[7rz= à un quarré , dans lesquels on conclut aisément que ^ doit 

 être un diviseur de la formule proposée t^'zkLcu' (1) j mais il vaut 

 mieux suivre la démonstration dans toute sa généralité. 



(228) Nous avons vu ci-dessus que les diviseurs 4 tz-H i et 4 n — i 

 sont distingués par des formés quadratiques particulières , et même 

 lorsque la formule proposée est t'^-\-iau'^ les diviseurs se subdi- 

 visent en quatre formes 8/2+1 , 8 tz -f 3 ^ ^n-Y^ ^ 8/2 + 7,61 ceux- 

 ci sont contenus chacun dans des formes quadratiques distinctes. On 

 pourra donc supposer que le diviseur quadratique j3j'' + ^qyzzàz.imz* 

 qui répond à la forme linéaire 4ca; + aou icx + A ïïq contient que 

 des nombres de la même espèce que ^, c'est-à-dire tels que la 



( 1 ) Le double signe indique seulement que la formule proposée peut être 

 i^-\-cu^ ou (' — cu^ i mais d'ailleurs il ne laisse aucune indétermination. 



