SECONDE PARTIE. i%y 



5. XIII. Autres théorèmes concernant les formes 

 quadratiques des nombres. 



(23 1) ooiT P un nombre quelconque diviseur de la formule 

 /*=±:czii% et comme tel, renfermé dans le diviseur quadratique 

 pj^'-^-nqy z-:±irz''^ on pourra supposer P^=pce-\-2qctC:à=LrC'^. Si 

 ensuite on détermine a° et C d'après l'équation a.C° — a°C=\ , et 

 qu'on mette a.j-\-cL'z e\.Cy~\-C°z à la place der et z, le diviseur qua- 

 dratique py''-\-2.qyz:±irz'' deviendra delà forme Py'--\-2.Qyz-\-I{z^. 

 Soit P' un autre diviseur contenu dans la même formule 

 j9j° + 2ç'jz=fc:r-s% ou dans son équivalente P y^^zQy z-^Rz"" ^ 

 on pourra faire P'=P(^'i-2Qi^v-\-Rv^^ et ainsi on aura PP'= 

 (Pl^-\-Qv)''zt:cv''. Donc si P etV sont deux diviseurs de la for- 

 mule t'' ± c u* , tous deux compris dans une même formule qua- 

 dratique py^ + 2qyzrhrz% leur produit PP' sera toujours de la 

 forme t'=tcu^ 



Réciproquement si les deux nombres P et V sont tels qu'on 

 ait PP' = t'±cu^j t et u étant premiers entr'eux , je dis que 

 ces deux nombres appartiendront à un même diviseur quadratique. 



En effet , puisque t et u sont premiers entr'eux , il faut que u 

 et P le soient aussi 3 on pourra donc faire tz=Py + Qu ,yeiQ étant 



, . Occire 



des nidéterminées , ce qui donnera P'=Py'' + 2 Qyu~\-~ u"". 



P 

 Dans cette expression , u et P n'ayant pas de commun diviseur , 



on voit que Q'=bc doit être divisible par Py ainsi faisant Q^=t:c=PR, 



on aura P'=Pj'" + 2 Qjz/+i? w*. Le second membre ^ en regar- 



danty et u comme des indéterminées , représente l'un des diviseurs 



quadratiques de la formule t^'zizcu^ et il est évident que ce diviseur 



contient à-la-fois P et P'. Donc si les deux nombres P et P', ùc. 



(aSa) Tout nombre premier A qui divise la formule t''zfccu% 

 ne peut appartenir qu'à un seul diviseur quadratique de cette 

 formule. 



