288 THÉORIE DES NOMBRES. 



Car si le nombre premier ^ appartenoit à deux diviseurs qua- 

 dratiques difFérens, on pourroit transformer ceux-ci en deux autres, 

 dans lesquels A seroit coefficient du premier terme (n**. 23i ). 

 Soient ces deux diviseurs 



on pourra supposer en même temps ud'^iB et 2jB'; car si on 



avoit 2 B >^ , il faudroit substituer y — mz à la place de y , 



et déterminer m de manière que le coefficient de j^-^ ^^ fût 



pas plus grand que u4. Cela posé , on auroit toujours jB^ — ^C 



B^ — E'^ 

 := jS'^ — ^ C ^=:±zc i donc seroit un entier , et puisque ^ 



est premier, il faudroit que ^ divisât Fun des facteurs B-\-B\ 

 B — B' . Mais B et B' étant l'un et l'autre plus petits que ^A ^ 

 les nombres B + B', B — B' seront tous deux plus petits que A ^ 

 donc ils ne seront ni Pun ni l'autre divisibles par ^ , à moins 

 qu'on ne suppose B'=B. Mais alors les deux diviseurs quadrati- 

 ques dont il s'agit , seront identiques j donc le nombre premier ^ 

 qui divise la formule f" z±z c u'' , ne peut appartenir qu'à un seul divi- 

 seur quadratique de cette formule. 



Remarque. Le même raisonnement auroit lieu , si A. étoit le 

 double d'un nombre premier , et en général , si ^ étoit une puis- 

 sance quelconque d'un nombre premier , ou le double de cette 



x^ ^ ' c 

 puissance ; car l'équation — = e n'admet qu'une seule solu- 



tion , lorsque A est de la forme mentionnée , ou même plus géné- 

 ralement , lorsque ^ = a"â , ou 2 *"9 , ô étant un diviseur de c, 

 et a un nombre premier (Voyez n°. igi). Donc dans tous ces cas^ 

 qni sont fort étendus , le nombre ^ ne pourra être compris que 

 dans un seul diviseur quadratique de la formule ^* ±cz/\ 



(233) ^u contraire , si A est un nombre composé , il pourra 

 y avoir plusieurs diviseurs quadratiques de la formule t* =îi: c u* 

 qui contiennent le nombre A. 



En effet le diviseur quadratique qui contient A peut se représen- 

 ter par la formule Ay''-\-iBy z-\-Q z"" ^ où l'on a iB<i^ et 



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