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B^ — y4 C^=^':^c. Or ^ étant connu , on peut prendre pour B 



tout nombre qui satisfait a 1 équation — — — = e , pourvu que 



cette solution soit comprise entre zéro et 7-^. D'ailleurs lorsque^ 

 a des facteurs premiers inégaux et non communs avec c , on a 

 déjà vu (n^. 191) que cette équation admet un nombre 2'~* de 

 solutions, i étant le nombre de ces facteurs (2 excepté). Donc 

 il y aura pareillement un nombre 2*~' de diviseurs quadratiques 

 ^y''-\-iByz-\-Cz''^ ou de formes de diviseurs quadratiques , ren- 

 fermant u4. Il pourra arriver cependant que plusieurs de ces divi- 

 seurs , réduits à Fexpression la plus simple, ne diffèrent point 

 entr'eux j de sorte qu'en vertu de la limite assignée , le nombre 

 des diviseurs quadratiques qui contiennent y^ ne peut excé- 

 der 2'~*, mais il pourra être plus petit. Cela est d'autant plus 

 manifeste , que le nombre des diviseurs quadratiques d'une même 

 formule t'^zt:cu' est souvent très- petit , et se réduit quelquefois 

 à un ou deux , tandis que si l'on prend un nombre ^:i composé 

 de plusieurs facteurs ,1a quantité 2'"' qui représente le nombre des 

 valeurs de B peut devenir aussi grande qu'on voudra. 



Jusqu'ici nous avons considéré les diviseurs des deux for- 

 mules f^-^-cu^^ f^ — cu^ indistinctement j dans le reste de ce para- 

 graphe , nous ne nous occuperons que de la première formule 

 t^-^-cu"^ et de ses diviseurs quadratiques. 



(234) Tout nombre premier A qui est de la forme y*-|- az% 

 a étant un nombre positif , ne peut être qu'une seule fois de cette 

 forme , en sorte qu'on ne pourroit avoir à-la-fois A = f ^ + a g* et 

 A = f' + ag'", g' étant différent de g. 



Supposons , s'il est possible , que ces deux formes aient lieu à-Ia- 

 fois , et qu'en conséquence on ailf + ag'' =f^-{'ag''% ouf" — f"" = 

 a(g^ — ^^)i i^ faudra que^+Z' soit divisible par un facteur de a et 

 y~/" par l'autre facteur. Soitdonca=m/2^wet tz étant deux facteurs 

 indéterminés ; et on aura f-¥f' = mh , f — f = nX: ^ ce qui don- 

 nera hk=g'' — g^. Soit <p le plus grand commun diviseur de h 

 et de^'+^, on pourra faire h = i^<p, g-i^g =^v(p , et il restera à 

 satisfaire à l'équation y.i = (g — g) v. Or puisque y. ei v sont pre- 



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