290 THÉORIE DES NOMBRES. 



miers enlr'eux , il faudra qu'on ait k = v4-, g' — ^=/>i4 j 4- étant 

 une nouvelle indéterminée. De là résulte 



Doncf^ + ag'' o\i^=^^Cmy.^-Jrnv'') (^/7Z(p'+7z4*j.Et puisque ^ est 

 un nombre premier , il faudra que Tun des facteurs du second 

 membre, par exemple m //.'' + n ;*% soit égal à 4 ou à 2. 



Soit d^abord m i^^' + nv^ = 2 , on ne peut supposer // = o ni v = o , 

 parce que Fune ou l'autre supposition rendroit identiques les deux 

 formes jT^ + û!^, /'" + a ^'^j donc la seule manière der satisfaire à 

 cette équation , est de supposer tous les nombres m , tz , iU , v égaux 

 àTunité. Mais alors on auroit a = i , f=^(<p-\-4') , g=i(<P — 4j , 

 f^L(^ — 4) , g'==^^(?-\.4) , donc p + ag^ et p + ag'% ne se- 

 roient qu'une seule et même forme ^(ip-^-i-T+iCP — 4J% contre 

 la supposition. 



En second lieu, soit w /m." + tz v'' r= 4 j comme on ne peut faire 

 encore /!/ = o , ni v = o , il n'y aura que deux manières de satis- 

 faire à cette équation^ l'une en faisant m=n=2 , ixz=vz= 1 ^ 

 l'autre en faisant 7n= i , 7z = 3, ij. = v = i. Le premier cas 

 donneroit ^/ = 2 (p*4-2 4" ? et ainsi ^ ne seroit pas un nombre 

 premier. 



Dans le second cas, on aura ^ = (p'' + 54-'' j f=i(p-^^4) 9 

 g=^((p — 4-)', mais ces dernière^ valeurs ne peuvent avoir lieu, 

 à moins que ?» et ^ ne soient tous deux pairs ou tous deux impairs , 

 et dans les deux hypothèses <p'4-34' ou ^ seroit divisible par 4. 

 Donc, dans aucun cas, le nombre premier ^ ne pourra être 

 exprimé de deux manières différentes par la même formule 

 y' + az". 



Remarque. Si un nombre ^ peut être exprimé de deux ma- 

 nières par la formule y''-\-az'^ ^ ce nombre sera nécessairement 

 un nombre composé , et on pourra même , par l'analyse précé- 

 dente , en déterminer les deux facteurs. Mais il est à observer 

 que ce théorème ne seroit plus vrai si a étoit un nombre négatif, 

 car l'équation uit^y'' — az"" étant supposée avoir une solution, 

 elle en a dès- lors une infinité. 



