s E C O N D E P A R T I E. sgi 



(2^55) Nous avons déjà eu occasion d'observer que le produit 

 des deux formules semblables x'^ + aj^j p^-^aç'^ donne un produit 

 semblable , lequel est susceptible des deux formes 



(px — a qyy 4- a (py -\-qxy 

 (px-iraqyy-\-a(py—qx)\ 



C'est ce dont on peut s'assurer par le simple développement de 

 ces quantités. Mais on peut trouver directement la forme de ces 

 produits , en considérant que les deux facteurs x'^-\-ay^^ p'^-\-aq'^ 

 équivalent aux quatre suivans 



x+y{/ — a , x — j{/ — a , p-\-qy/ — a . p — qy^ — a» 

 Or si on multiplie les deux facteurs x-\-j\/ — a, p-r-qv^ — «, 

 l'un par l'autre , le produit sera px — aqy-{-(py ~{- qx) \/ — a; 

 les deux autres facteurs auront de même pour produit px — aqy — 

 (py + qx) ^ — ^i et le produit de ces deux produits sera 

 (px — aqyj^-f- a( py ■\- qx^. Le résultat seroit le même, en 

 changeant le signe de ç' , et ainsi une autre forme du produit est 

 (px-\-aqy)''-\-a(py — qx)"". Ces formules ont lieu , quel que soit le 

 signe de aj tout ce qui suit suppose que a est positif. 



(236) Si la formule x''-\-ay'^ représente un nombre composé iV, 

 lequel soit m fois de la forme x'^-j-ay'', et que p'^ + aq'^ représente 

 un nombre premier ^ , on voit , par le n°. précédent , que le 

 produit N^ sera susceptible de 2 m formes semblables à x'^-\-ay''y 

 pourvu toutefois que iVne soit pas divisible par ^ : on verra tout- 

 à-l'heure pourquoi nous mettons cette restriction. 



Si le nombre premier ^ est de la forme p"^ •\- aq^ ^ le quarré 

 du nombre ^ sera une fois de la forme a;', et une fois de la forme 

 x''-\-ay''', car on a, suivant les formules précédentes^ 



^^=(p''-^aq')'' et ^'~(pp — aqqy-^a(ipqy. 

 Donc si le nombre composé N est m fois de la forme x'^-\-ay'"^ 

 et que le nombre premier ^ soit aussi de la forme p^-\-aq^y le 

 produit N^^ sera susceptible de 3 m formes semblables X^-\-aY'''y 

 parmi lesquelles il y aura i m formes où X et Y n'auront point 

 de commun diviseur A ^ et m où ils l'auront. On suppose encore 

 que ^ n'est point diviseur de N. 



Le nombre premier -^ étant toujours de la forme /;" + a q^^ 



O o 2 



^ 



