292 THÉORIE DES NOMBRES. 



le cube de ^ sera deux fois de cette même forme 5 car ^* est 

 de la forme (p p — aqqy-\-a(2p g)^ ; et cette quantité multi- 

 pliée parj^' + a^" fournit les deux formes 



(p'' — '5apq''y-\- a('àp''q — aq''y 



(p' + ap q^y + a (p^q + a q')\ 

 La dernière étant représentée par X^-^aY^, on voit que X et Font 

 pour commun diviseur ^ , et qu^elle se réduit à (pAy-\-a(qAy^ 

 la même que si on eût multiplié simplement jt7*+ a ^'^ par ^\ 



En général , A étant un nombre premier.de la forme p''-\-aq'^^ 

 on peut faire ^^ =P^ + (2Q% et on aura, pour déterminer P et Q, 

 Féquation (p-\-q \/ — a)''r= P-\-Q y/— a , dans laquelle , après avoir 

 développé le premier membre , il faut égaler la partie ration- 

 nelle à la partie rationnelle , et la partie imaginaire à la partie 

 imaginaire. 



On aura aussi ^' = ^* . ^'"^ , de sorte que si on fait 

 [A''~''==P'F+aQ'Q', on aura une nouvelle valeur de A qui sera 

 (AP'y-^aÇAtQy. On en tirera une semblable de AKA''-^^ &c. 



Donc autant il y aura d^unités dans 1 + - , autant on aura de for- 

 -^ 2 



mes diverses X.^-\-aY'' pour la puissance A" ; mais parmi ces 

 formes, il n'y en aura qu'une seule dans laquelle ^ et 1^ seront 

 premiers entr'eux ; dans toutes les autres , X et y auront succes- 

 sivement pour commun diviseur ^, ^% A'^^ &c. Donc la valeur 

 de A"' sera 



lorsque n^=i ^ une fois A"^ et une fois de la forme X^'-^-aY" , 

 lorsque n = 5 , deux fois de la forme X'^ + aY'' , 



lorsque 7z = 4, une fois ^^ et deux fois de la forme X^ + aY" , 

 lorsque n = 5 , trois fois de la forme X^ + aY'' , 



sinsi de suite. 



Et comme chaque facteur X^ + ay* multiplié par un nombre de même 

 forme j produit deux résultats de cette même forme , tandis que A'" 

 seul n'en donne qu'un ^ on peut conclure en général que le produit 

 d'une formule /' + <3^* par A" sera susceptible de tz+i formes 

 semblables x^ + aj'", lesquelles seront toutes différentes entr'elles, 

 pourvu que A ne divise point y' + a^*. 



Donc si on a N =^ tt" C y" '' &c., a, f , >,&c. étant des nombres 



