agi THÉORIE DES NOMBRES. 



nombres cherchés; ainsi 3"^. 17^. 19' doit satisfaire à la question. 

 Fermât a indiqué cette solution , sans en donner de démonstra- 

 tion , dans une de ses notes sur Diophante , page 128. 



Le théorème du n°. 2,^4 dont nous venons de donner diverses 

 applications , renferme une propriété essentielle et très -remar- 

 quable des nombres premiers , mais il est susceptible d'être rendu 

 beaucoup plus général , ainsi qu'on va le voir dans les proposi- 

 tions suivantes. 



\ (238 ) Tout nombre premier A compris dans la formule my '^ -f- nz*, 

 oàvn. etn sojit positifs (1) , ne peut être exprimé de deux manières 

 différentes par cette formule , en sorte que si Von a A = mP + ng*, 

 07i ne pourra avoir en même temps A = mf'^ -f-ng''} g' étant diffé- 

 rent de g. 



Si on avoit d-la-fois ^ =^mf^-\-ng'^ = mf^'-^-ng''^ il en résulte- 



f — f'^ r'^ — P,'' 



roit — = ^^— : équation dont chaque membre doit être 



n m 



un nombre entier , parce que m et n n'ont point de commun divi- 

 seur. Soit donc n = ctC ^ m-=-y8' , on pourra faire en général 

 f^f'r=^MN g'-\-g=.yMP 



ce qui donnera if—n.MN^CPQ^ ig^^yMP — J'iVQ; donc 

 4;7z/^ + 4 72^^ ou ^A = (<^yM''-{-CS'Q') . (^S^N'^CyP^). 



Maintenant , puisque ^ est un nombre premier , cette équation 

 ne peut subsister , à moins qu'un des facteurs du second membre 

 ne soit égal à 4 ou à 2. 



Soit 1°. dLyM^-\-CS'Qf-=^i : j'observe qu'aucun des nombres 

 iJi , Ny Pj Q ne peut être supposé égal à zéro, parce que 

 cette supposition rendroit identiques les deux formes mf'^ + jig', 

 mf"^-\-7ig"' i on ne pourra donc satisfaire à l'équation précédente 

 qu'en faisant ctSyS^^^i-y M= Q=i. Mais alors le nombre ^ 



(1) Les nombres m et n doivent être premiers entr'eux , puisque rnf^-\-ng* 

 est égal à un nombre premier j mais on peut supposer de plus que m et n n^ont 

 aucun facteur quarré : car si on avoit m=rm'«t'*, il est clair que la formule 

 w^'-f-nx* seroit comprise dans m'^^-j-ns*. 



