SECONDEPARTIE. 2^5 



seroit de la forme j^-^z""^ et par conséquent ii ne pourroit être 

 qu'une fois de cette forme (n°. 234). 



Soit 2°. ût7'iI4'' + é'<rQ*r= 4 , cette équation ne pourra avoir lieu 

 qu'en faisant ctyCS=5, M=^Q=i , alors le nombre ^ seroit 

 de la forme y' +3z% ce qui rentre dans le cas déjà examiné 

 n^ 234. 



Donc dans tous les cas le nombre premier ^ ne pourra être 

 exprimé que d'une manière par la formule mj^ + nz"", 



(•23g) Le double d'un nombre premier A ne peut être exprimé 

 non plus de deux manières différentes par la même formule 

 my'-fnz', ^/z sorte que si Von a 2 A = mf'+ng% oji ne pourra 

 avoir en même temps 2 A ^mf'^' + ng'^, g' étant différent de g. 



Car toutes choses restant comme dans la proposition précédente , 

 on sera conduit de même à l'équation 



Or pour que cette équation subsiste ^ il faut que l'un des facteur3 

 du second membre soit égal à 2 , ou à 4 , ou à 8 , sans cependant 

 qu'aucun des nombres M ^ N , P, Q soit zéro. 



Soit 1°. cty M^ -\- C S" Q" = 2 ', cette équation ne pourra avoir lieu 

 qu'au tant qu'on aura * é" > <r = 1 , i^l = Q = i . Mais alors 2^4 seroit 

 de la forme y"+^% et si on avoit i^=f''-\-g^=^f'^-\-g'% il en 

 résulteroit 



Donc le nombre premier A seroit deux fois de la forme jK^' + ^S ce 

 qui est impossible (n°. 234). 



Soit 2°. cty M'-\'CS'Q'^:=i ', la seule manière de satisfaire à cette 

 équation (sans supposer M ou Q égal à zéro ^m ctCyS' divisible par 

 un quarré), est de faire a.CyS':='5^ iW=i, (5=15 mais alors 

 on auroit 1^4 ■=f''-\-'5g'' équation impossible , parce que le pre- 

 mier membre est de la forme 4/2 + 2 , tandis que le second sera 

 toujours^ ou impair, ou multiple de /\. 



Soit 3°. ayM' + CS-Q^^:^ , il est aisé de voir d'abord que ctCyS' 

 ou mn ne peut, dans ce cas, être un nombre pair; car, par 

 exemple, si l'on fait £t>=:2, C(r=3,on aura l'équation 2J4" + 3iV^'=8^ 



