296 THÉORIE DES NOMBRES. 



à laquelle on ne peut satisfaire qu'en faisant N=o. Les autres 

 valeurs paires de m/zne pourroient être que 2 ou 10 j mais on recon- 

 noîtra de même qu'elles sont inadmissibles. 



Il reste donc à examiner les valeurs impaires de mn ou de 

 aCyS'j au moins celles qui ne donnent pas plus de 8 pour la somme 

 des deux facteurs ay^CS', car la quantité a, y M"" -^ C S" Q'^ est au 

 moins égale à cette somme , puisqu'on ne peut faire ni M m Q 

 égal à zéro. 



Le cas de mn=i ayant été déjà examiné, soit m7z = 3, on 

 i^ura M'^ + ^Q'' = 8 , équation dont l'impossibilité est manifeste. 



Soit m/z=5, on aura M" ■\- b Q"- ^=-8 ^ équation pareillement 

 impossible. 



Soit mn-=-'i ^ ou aura j^''-{-7Q^=8 , équation possible j mais 

 alors on auroit 2-,^=y + 7^*, équation impossible , parce que le 

 second membre est ou impair ou multiple de 8. 



On ne peut faire m/2 = g à cause du facteur quarré , ni /7z;z = iij 

 ou m 7z=^ i5 , parce que 1 + 11 ou 1 + i3 surpassent 8. 



Soit enfin m/z = i5,a7' = 3, CS' = 5 , l'équation 3 M" -j- 5 Q''= 8 

 sera possible 5 mais alors on auroit 2^=f''-T iSg'' ou 2^=3/^^ + 5^% 

 équations toutes deux impossibles , parce que le second membre 

 est ou impair , ou multiple de 8. 



Donc j dans aucun cas , le double d'un nombre premier ne peut 

 être compris de deux manières dans la formule my" -\- n z" . 



(2 4o) Tout nombre P premier y ou double d'un premier , qui est 

 compris dans la formule quadratique py'' + 2qyz-4-27rz", ne peut 

 être exprimé que d'une manière par cette formule , en sorte que 

 si on a P = pf *+ 2 q fg4- 2 Trg'', on ne pourra avoir en même temps 

 P=pf '"^4-2 qf'g'-f-27rg'^. (On suppose toujours^ impair et ipvr — q* 

 égal à un nombre positif c. ) 



J'observe d'abord que le cas où P est double d'un nombre prer- 

 mier se ramène aisément à celui où P est un nombre premier j 

 car si on a , 



2 ^ =pf* + 2 qfg-\- 2 TTg"" 



2A=pj'^^2qj'g'-\-27rg\ 



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