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il faudra que f et/' soient pairs. Ainsi faisant /= 2 ^ , J' r=-ih\ 

 on aura 



Donc s^il est impossible qu^un nombre premier ^ soit compris 

 de deux manières dans une même formule quadratique , il sera 

 pareillement impossible que son double 2. A soit exprimé de deux 

 manières par la formule quadratique qui contient iA. Récipro- 

 quement si la proposition étoit démontrée pour le cas de P=^2A, 

 elle le seroit pour celui de P = -^; c^est pourquoi il suffira de 

 considérer l'un de ces cas. 



Soit donc A un nombre premier compris dans la formule 

 py''-{-'2qyz-\-i'7rz'' qu'on pourra considérer comme Fun des diviseurs 

 quadratiques de la formule f + eu"". Si Ton fait A^=^pf'' + iqfg-\- 27r^^, 

 et qu'après avoir déterminé p et ^' par l'équation /g-' — f'g^^^ > 

 on substitue fy-\-f°z et gy^-g^'z à la place de y et -s dans la 

 formule pj''-\-iqj z-\- 27rz% cette formule deviendra de la forme 

 u4j''-\-2Bj z-\-Cz'^ où l'on aura AC — B^= c. 



Jjpnc si le nombre A est compris de deux manières différentes 

 dans la formule iproposéepy -{-2 qyz-{- 2 7rz% il faudra qu'on puisse 

 satisfaire à l'équation A = Aj^-^2 B y z~\-Cz\ sans supposer 

 z=:o. Cette équation étant multipliée par^donne ^^■=-(Ay + B z)* 

 ■^-cz^, ou ^^ — (Ay-{-Bz)^ = c z^. Soit c = mn, m et n étant 

 deux facteurs indéterminés , on pourra faire 



A-\'Ay^-Bz-=mM 



A. — A y — B z^nN, 

 et l'équation à résoudre deviendra MN^=z^. Or on satisfait géné- 

 ralement à cette équation , en prenant iI4"= a ft% i\r= ^;'*, Z = A(a('- 

 /u et V étant premiers entr'eux j on aura donc 



u4.-\-u4y-\-BK\Lv^=.TnKyL' 



ud udy Bk^ ;f = 72 a. v% 



d'où l'on tire 2 A ■=^K(niy-''-\-nv''). 



Ce résultat , qui a lieu quel que soit A , prouve que si un nombre 

 quelconque A est compris de deux manières différentes dans une 

 même formule quadratique py^ + 2 qy z-\- 2 7r z"" ^ son double 2 A 



