298 THÉORIE DES NOMBRES. 



sera le produit de deux facteurs ^ , « ^ Fun « de la forme my^ + 72 s* 



(où mn=^c) , l'autre a moindre que — ■ — . 

 ^ \/ c 



Maintenant si ^ est un nombre premier , comme on peut faire 

 abstraction du cas de c=: 1 , on ne pourra faire ni a = ^, ni 

 A r= 2 -^ ; donc puisque a est diviseur de 2 _^ , il faudra que a 

 soit 1 ou 2 , et ainsi on aura soit^=;72/x*4-72;'*, soit '2^=m^^-\-jiv^. 



1°. Si on a -r^ = m/A' + /zv'' , le nombre premier^ sera compris 

 dans la formule my^-^nz'' , qui est l'un des diviseurs quadratiques 

 de la formule /^4-c^/^ Mais comme un même nombre premier 

 ne sauroit appartenir à deux différens diviseurs quadratiques d'une 

 même formule ^* + cw^, il s'ensuit que la formule mj''-\-nz'' doit 

 coincider avec la formule donnée pj'^-{-2qjz-\-2 7rz''. Or on a 

 prouvé (n°. 238) que le nombre premier^ ne peut être qu'une 

 fois delà forme my" ■{• n z'' , donc il ne peut être qu'une fois (1) de la 

 forme équivalente /)j'' + 2 §'^2 -{-2 7rz^ 



2°. Si on a 1^ =^my''-\- nz""^ le nombre 2^ appartiendra au 

 diviseur quadratique my^-\-nz^. Mais de ce que le nombre A est 

 compris dans le diviseur py''-\-2qyz-\-n'7rz''^ il s'ensuit que 2^ 

 est compris dans le diviseur conjugué 1 p y'' -^ 1 q y z ■\- tt z'' . uonc 

 comme 2 ^ ne peut appartenir à deux diviseurs quadratiques 

 différens, il faut que la formule '2py''-\-'2qyz-\-7rz'' soit identique 

 avec my'' '\- n z"" . Mais s'il y avoit deux solutions de l'équation 

 ^^py"- 4- iqyz 4- 2 7rz% il y en auroit deux de l'équation 

 iA-=^ipy''-\-iqyz-\-'7Tz'', et partant deux de son identique 

 2_^=/77j^*-f7z>s% ce qui est impossible (n°. sSg). 



Donc le nombre premier A ne peut être exprimé de deux 

 manières différentes par la même formule py"^ + iqy z + 2 tt.s'' 5 

 donc tout nombre P , &c. 



(241) Remarque. Cette proposition générale est cependant su- 

 jette à deux exceptions, lorsqu'on 2, q=^p ou qr=7r. 



\^. Si le nombre P est compris dans la formule /7f'' + 2jqfz 4-2 7r^% 



(1) Cette conclusion est sujette à une exception dont il sera fait mention dans 

 la Remarque suivante. • 



