3oo THÉORIE DES NOMBRES. 



4pjK° + 2 qy z + r z' 



donc il faudra que le nombre premier ^ appartienne à l'une de ces 

 formules. Mais celles-ci étant réduites à la forme ordinaire , où 

 deux coefîiciens sont pairs, il suit du théorème précédent, que 

 le nombre ^4. ne pourra être compris que d'une seule manière dans 

 la formule à laquelle il appartient 5 donc il ne pourra être exprimé 

 que d'une manière par la formule proposée py'^-^-qy z-\-r z""^ sauf 

 les cas prévus qu'il faut examiner. 



1°. Si l'on a ^r^/jjles trois formules comprises dans qy''-\-qyZ'\-T''z>^ 

 se réduisent aux deux suivantes : 



qy''-\-iqy Z'\-k:r z"^ 



^^q y"^ ■\-'^qy ^■\- rz''. 

 Mais la première peut se réduire ultérieurement à la forme 

 qy''-\- f 4r — q ) z^ , donc alors le nombre ^ sera ou de la forme 

 qy'^-^-Ç^r — q)z^^ ou de la forme 4 ^j^^- 2 ^j ;z + /-z% et dans les 

 deux cas, il ne peut être représenté que d'une manière par ces for- 

 mules , quoiqu'il le puisse être de deux par la formule proposée 



qy^'^qyz^rrz''. 



2^. Le cas de q =^r donnera un résultat semblable. 

 3°. Si l'on a p=r, les trois formules comprises dans py^ + qyz +pz* 

 se réduisent aux deux suivantes : 



py^ + Q qy z-^-ipz'^ 

 (2p^q)y^-\-(ip — 2 q)y z + ipz\ 



La dernière est la seule qui puisse donner lieu à exception ; mais 

 comme elle peut être mise sous la forme (2p — q)y''-\-('2p-\-q)z'^ 

 il s'ensuit que le nombre u4 , qui doit être compris dans l'une ou 

 l'autre de ces deux formes , n'y pourra être compris que d'une 

 seule manière. 



On voit par ces détails , que les cas d'exception résultans de 

 l'égalité entre deux des coefficiens p , q ^ r , n'existent plus lors- 

 qu'on réduit la formule proposée aux formes les plus simples dont 

 elle est susceptible ; de sorte qu'alors le nombre premier ^ ne 

 peut s'exprimer que d'une manière par celle des formules réduites 

 à laquelle il appartient. 



