SECONDEPARTIE. 3o3 



En effet , si on met l'équation 5c^5= ioj'' + 2j z-i-y z" sous cette 

 forme (ioy + z)'' = 5Q5o — 69 z% et qu'on donne à z les valeurs 

 successives o , 1 , 2, 3, &c. , on trouvera les solutions suivantes : 



2 = 3, ioj-\-z = zt:'/5, y==j 



f 6 



z = 5, ioy-^z = -=t:65, j=l^ 



2=9, 10J + Zr=:=bl9, jr=l. 



Donc il y a trois valeurs de z dont une répond à deux valeurs 

 de j^ , et ainsi il y a quatre solutions de l'équation proposée, con- 

 formément au théorème. 



(245) Remarque I. Les mêmes exceptions qui ont été obser- 

 vées n°. 24 1 , lorsque P est premier ou double d'un nombre pre- 

 mier , ont également lieu lorsque P est un nombre composé 5 mais 

 on peut les éviter de manière que le résultat réponde exactement 

 à l'énoncé du théorème. 



Ces exceptions se réduisent aux deux cas où l'on auroit 

 P = çj''-h'2çj z + rz'', on P =pj''-{-2 qy z-\-iq z"^-^ or dans le pre- 

 mier cas on peut mettre P sous la forme P = qy"^ + (r — ^^ z» , et il 

 n'y a plus lieu à exception. Dans le second , on peut écrire 

 2P= (ip — q)y''-^qz''<f si p est impair, et P= i(qz^-\-(ip — q)y^) 

 si P est pair j dans ces dernières formes , il n'y aura plus que le 

 nombre de solutions désigné par 2'~*. On peut aussi , dans le 

 second cas, ne pas regarder comme différentes la solution j/ = «, 

 z = €", et la solution y z=. a. ^ z-==. — a. — Q. 



Remarque II. Si un nombre impair P est diviseur de la for- 

 mule V'-\-cu''^ où c est de forme 8^2 + 3 , et qu'en conséquence P 

 soit compris dans le diviseur quadratique -p y"^ ■\- q y z ■\- r z"^ dont 

 les coefEciens sont impairs , on prouvera , comme ci- dessus, que le 

 nombre P sera compris, de 2*~^ manières différentes^ dans les 

 diviseurs quadratiques de la formule /^-i-cw% i étant le nombre 

 de facteurs premiers inégaux qui divisent P sans diviser c. 



L'exception qui auroit lieu , si on avoit r:=q, peut être évitée 

 de deux manières, 1°. en considérant comme une même solution 

 celles qui donnent les'mêmes valeurs tant pour j^ que pour (y + z)z , 

 2''. en considérant , au lieu des valeurs de P , celles de 4/^ com- 

 prises dans la formule ^P=^(^i:p--q)y^-\-q z\ 



