SECONDEPARTIE. 3o5 



En effet, i°. si le nombre M , compris dans la formule 

 pj^-i-içyz-^r^^^^ est divisible par deux nombres premiers dlfférens 

 non diviseurs de c , on a déjà vu (n°. 244) que M sera compris 

 de deux manières différentes dans la formule pj''-\-2çj z-\-j^z'', 

 puisque celle-ci est seule de son espèce. Donc alors l'équation (a) 

 auroit au moins deux solutions. 



2". Si le nombre M est égal à une puissance paire du nombre 

 premier a , ou si Ton a iL? = a^% alors le nombre M appartiendra 

 au diviseur quadratique y'^-\-cz''; car si dans ce diviseur on fait 

 jK = ««" et 2 r= à un nombre pair , on obtiendra la même forme 

 linéaire icx-\-B. qui convient au nombre M. Mais on suppose que 

 les formes linéaires dans lesquelles .M est compris ne répondent 

 qu'à un seul diviseur quadratique pj'^-\-2qj z-\-r z"^ -^ donc ce 

 diviseur, dans lequel M est contenu ^ n'est autre ç\u.e y'^ -\- c z',, 

 ou son équivalent jy'"-}- 2 jz + fc+ ij)z\ J'observe maintenant que 

 le nombre M qui sera exprimé par f'^-\-cg' jf et g étant premiers 

 entr'eux , pourra l'être aussi par la simple formule >% en faisant 

 j^ = 7= a", z = o î et quoique cette dernière expression ne soit pas 

 régulière , puisqu'on doit toujours supposer j et z premiers entr'eux , 

 cependant il n'en est pas moins vrai qu'on pourra faire /^ + cg'^=- y""^ 

 et qu'ainsi l'équation (a) , outre la solution x = o ^ en aura une 

 autre qui donne <^=o. 



3°. Si le nombre M = a^'""^', a étant un nombre premier , alors 

 il est aisé de voir que a. et M appartiendront au même diviseur 

 quadratique. Car soit a.y'--\-2Cyz-{-yz'' le diviseur quadratique qui 

 contient a , si l'on fait y =^ a" et z égal à un multiple de 2 c , 

 alors ce diviseur devient de la même forme linéaire 4 c a- + a dont est 

 ^2>r.+i Q^ j^^ jyjg-g ^1 ^,^ ^ p^j. supposition qu'un seul diviseur qua- 

 dratique qui réponde au groupe de formes linéaires dans lequel M 

 est compris, donc ce diviseur py''-\-2qy z-\-rz'' sera identique 

 avec le diviseur ay'' -\- 2 C y z ~\- y z''' . Or celui-ci offrira toujours deux 

 manières de représenter M , l'une où y et z seroient premiers 

 entr'eux , l'autre où l'on feroit j:= ci'% z =0. Donc ;, en vertu de 

 ces deux expressions , l'équation (a) auroit encore deux solutions. 



4<*. Si on a 31= a^"" ^ on prouvera, d'une manière sem- 

 blable , que le nombre 31 appartiendra au diviseur quadratique 



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