3o6 THEORIE DES NOMBRES. 



/ C+ 1\ . . . . c 



!2j*~\-2yz +( Jz*, SI c est impair , ou au diviseur 2j^* + -z*, 



si c est pair. Dans les deux cas, le nombre M pourra être exprimé 

 de deux manières par ce diviseur , et ainsi Féquation ( a ) aura 

 deux solutions. 



5°. Si le nombre M==2a.''""^\ on prouvera encore de la même 

 manière , que le nombre M appartiendra au même diviseur qua- 

 dratique qTie 2 01 , et qu'ainsi ce diviseur pourra être représenté 

 par 2cij''-^2Cj z-i-yz''. 11 y aura donc au moins deux manières de 

 satisfaire à Véquaùon M =py^-\- '2 g y z~\-r z^ , et par conséquent 

 au moins deux solutions de l'équation .(a). 



Il paroit , par l'examen de tous ces cas , que si le premier 

 membre de l'équation (a) ne peut devenir un quarré que lorsque 

 Arr=o, on peut conclure que le nombre M ou ^M est un 

 nombre premier. Il faut néanmoins excepter le cas où M auroit 

 un facteur premier a non commun avec c , et plusieurs autres 



C , y ^ &c. communs avec c, car alors 1 équation — — — =e 



ne seroit susceptible que d'une solution ^ et le nombre 31 ne pourroit 

 être représenté que d'une manière parla £oTmu\e pj'' + 2çyz-\-rz''. 

 Mais si d'une part le diviseur quadratique pj*-^2çfz~\-rz'^ qui 

 contient M est seul de son espèce j si d'autre part M n'a aucun divi- 

 seur commun avec c, et que la quantité ^"-{-2 (poi.-{-q C) x — ex", 

 formée d'après la valeur M =p «.""-{-iq a. é'+ /• C"^ ne puisse être égale 

 à un quarré que dans le seul cas de xz=o^ on pourra conclure 

 avec certitude de ces conditions réunies , que le nombre M ou 

 sa moitié ^ s'il est pair , est un nombre premier. 



(248) Cela posé , si on prend pour a et é" des nombres quelcon- 

 ques premiers entr'eux , on pourra regarder comme autant de 

 Théorèmes les résultats suivans choisis entre plusieurs autres sem- 

 blables qui sont contenus dans nos Tables. Ils indiquent diverses 

 formules générales dans lesquelles tout nombre compris sera pre- 

 mier ou double d'un premier , si la formule conditionnelle ne peut 

 être un quarré que lorsque x = o^ et si en même temps Metc 

 8ont premiers entr'eux , ainsi que a et C, 



