3o8 THÉORIE DES NOMBRES. 



C-i-2yx — cx^'^o. Donc si le nombre C^'{-2yx — cx^ reste tou- 

 jours assez grand (i) , la probabilité contraire , ou celle de ren- 

 contrer un quarré^ sera sensiblement égale à la somme de toutes 



les quantités -7 ' x« Mais au moyen du cercle dont 



2{/(C^'-{-2yx — cx^) -^ 



,,, . C lyx M n M 1 . 



reqaation est JK*= 1 x'^-) il est facile de voir que cette 



somme est à-peu-près — — , t désignant le rapport de la circon- 



férence au diamètre ; donc — — sera une valeur approchée de la 



2 y c 



probabilité dont il s'agit (2). 



Ce résultat dépend seulement de c , et il est d'autant plus 

 petit , que c est plus grand. De-là il est facile de juger quelles 

 sont les formules qui sont les plus propres à donner des nombres 

 premiers. 



Par exemple , pour que la quantité é""-!- 2 (^2 a 4-^^ a? — iGSa-'' de- 



vienne un quarré , la probabilité est -— ou à-peu-pres \. Donc 



2V/1D0 



il y a environ 7 à parier contre 1 , que le nombre a^ + <*é'-}-4i f^ 

 sera un nombre premier , et et é" étant pris au hasard parmi les 

 nombres premiers entr'eux. 



Il y auroit près de 8 à parier contre 1 , que la formule 5a^+38^* 

 donnera un nombre premier , ou le double d'un tel nombre , a et é" 

 étant pris à volonté premiers entr'eux , et en supposant que a n'est 

 point divisible par 19 , ni C par 5. 



Ces deux formules , et sur-tout la dernière , sont celles de toute 



(1) Les résultats que nous indiquons ne seroient pas exacts, si la quantité 

 Z^-\-^yx — cx"^ pouvoit être égale à zéro. Mais dans la formule dont il s'agit, 

 où l'on a yz=p et -\- qS , cette égalité ne peut avoir lieu, parce qu'il en résul- 

 teroit cx=p ce.-{-q Sdz\/pM , donc il faudroit que pM fût un quarré. Or ce 

 cas est l'un de ceux qu^on peut vérifier d'avance , et mettre à l'écart , comme 

 ne pouvant donner pour M ou ^M un nombre premier. 



(2) Cette estimation ne doit pas être prise à la rigueur , elle n'est employée 

 ici que comme un moyen grossier de comparer deux formules quant à leur aptitude 

 à contenir des nombres premiers. 



