TROISIEME PARTIE. 



THÉORIE DES NOMBRES CONSIDERES COMME 

 DÉCOMPOSAB LES EN TROIS Q^U ARRES, 



§. I. Définition de la forme trinaire. Nombres et diviseurs 

 quadratiques auxquels cette forme ne peut convenir. 



(260) XNous appellerons, pour abréger, forme trinaire d^un 

 nombre , toute manière d'exprimer ce nombre par la somme de trois 

 quarrés. Ainsi 69 pouvant se représenter par 25 + 25 + ()^ et par 

 49 + 9 + 1 j chacune de ces expressions sera une forme trinaire 

 de 59. 



Une forme trinaire est composée en général de trois quarrés , 

 mais elle peut ne Têtre que de deux ou même que d'un seul , parce 

 que , dans ces cas , zéro sera regardé comme quarré complétif. 

 On peut donc dire que ^5 est susceptible de deux formes trinaires, 

 savoir 36 + 9 et 25-f-i64-4j de même le nombre g en comporte 

 deux, qui sont 9 et 4+4+ ï. 



Lorsqu'un nombre est divisible par un quarré , la forme trinaire 

 qui convient particulièrement à ce nombre , est celle dont les trois 

 termes ne sont pas divisibles par un même quarré. Ainsi 45 a pour 

 forme trinaire propre 26 + 16 + 45 l'autre forme 36 + 9, ou 9(^4+ 0> 

 dépendante du facteur 5 , ejît en quelque sorte étrangère au 

 nombre 45. De même la forme trinaire caractéristique de 9 est 

 4 + 4+1 , celle de 25 est 16 + 9, ou 16 + 9 + (dont les trois termes 

 ne sont pas divisibles par un même nombre ) , et ainsi des autres. 



(261) \Aucun nombre 8n + 7 , m le -produit d^un tel nombre par 

 une puissance paire de 2 , ne peut être de forme trinaire. 



Car tout quarré pair étant représenté par 4m , et tout quarré 



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