522 THÉORIE DES NOMBRES. 



impair par 8 7z+ i , la somme de trois quarrés , si elle est impaire , 



ne peut être que de Tune des deux formes 



4/) + 4 ^ + 8r + i =4/:+ 1 , 

 lesquelles ne renferment pas la forme 8/2+75 et la somme de 

 trois quarrés , si elle est paire , ne peut être que le produit d'une 

 puissance paire de 2 par un nombre de Fune des trois formes 

 8/7 + 1 + 8 ^+1 +8 r+ 1=8)^ + 3 

 8p+i+Sq+i-\-4:r=4^~{'2 

 8p-Hi + 4§' + 4r=4y?:4-i. 

 Donc jamais la somme de trois quarrés n'est de la forme ('S/z-f y)!""' j 

 encore moins les nombres de cette forme peuvent -ils être com- 

 posés de un ou de deux quarrés seulement. 



Quant aux nombres qui ne sont pas de la forme fS 72 + 7^)2% 

 non-seulement on ne voit rien qui empêche qu'ils soient compo- 

 sés de trois quarrés, mais on s'assurera par l'expérience qu'ils sont 

 composés ainsi , et qu'en conséquence ils sont tous de forme trinaire. 



(262) On trouvera également que parmi les diviseurs quadra- 

 tiques d'une même formule ^^ + cw% où c n'est pas de la forme 

 (Sn+y) 2", il y en a toujours un ou plusieurs qu'on peut décom- 

 poser actuellement en trois quarrés ; de sorte qu'alors le diviseur 

 pjy''-\'2çy z-^-rz'^ pourra être mis sous la forme 



(my + nz)' + (mj + n'z^ + (m'y + nz)\ 



Cette décomposition , qui a lieu indéfiniment pour toutes valeurs 

 des indéterminées y et z ^ fournit un caractère particulier de ce 

 genre de diviseurs : nous appellerons diviseurs quadratiques tri- 

 naires , ou simplement diviseurs trinaires y ceux qui jouissent de 

 cette propriété. 



Par exemple, la formule f + 65r^* a un diviseur quadratique 

 trinaire , lequel est 



9j'+iojr^+ioz»=(^2y + 5z7 + 4j/"4-0^— -s>)'. 

 La même formule a un autre diviseur quadratique 4^2+ ^ » q^i ^st 

 i8j^'+ioy;z + 5^% mais celui-ci n'est pas de forme trinaire 5 car 

 on tenteroit inutilement de le décomposer en trois quarrés comme 

 le précédent. 



