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(263) Nous observerons qu'il est certaines classes de diviseurs 

 quadratiques qui ne peuvent jamais être de forme trinaire. 



1°. Lorsque c est de la forme 4;z-f- 1 , les diviseurs quadratiques 

 de la formule f' + cu'' sont de deux sortes , l'une contenant les 

 nombres 4;z+i, l'autre contenant les nombres 4/z — 1. Ceux-ci 

 renferment indistinctement les diviseurs 8 « + 3, Sn-^-j, et comme 

 aucun nombre 8n'{-'/ n^est la somme de trois quarrés, il s'ensuit 

 qu'aucun diviseur quadratique in — 1 , ne sauroit être de forme 

 trinaire. 



2". Lorsque c est de la forme 872 + 7 > il n'y a absolument aucun, 

 diviseur quadratique de la formule ^H-^w'' qui puisse être de forme 

 trinaire. La raison en est que chaque diviseur quadratique con- 

 tient indistinctement les diviseurs 4;z-{-i et 4;z — 1 ; il contient 

 donc aussi les diviseurs 8/2 + 7 dont aucun n'est décomposable en 

 trois quarrés 5 donc le diviseur quadratique en général ne peut 

 être de forme trinaire. 



3°. Lorsque c est de la forme 8/2 + 3, il ne peut non plus y 

 avoir aucun diviseur quadratique de forme trinaire , par la même 

 raison qui vient d'être apportée. Cependant il pourra arriver que 

 le double d'un diviseur quadratique soit de forme trin'aire. Par 

 exemple, y'^-\-yz-\-Sz'^ représente tout diviseur impair de la for- 

 mule r+ igz* 5 ce diviseur considéré ainsi en général , n'est point 

 décomposable en trois quarrés, mais son double 2jk'+2j^2+ 105* 

 se résout en ces trois quarrés jk^ + 9-2° + (y + -s J% 



4°. Étant proposée la formule i^ + 2a//', dans laquelle a est de 

 la forme 4/2+ 1 , les diviseurs quadratiques de cette formule sont 

 de deux sortes 5 les uns contenant les nombres 8/2 + 5 , 8/2 + 7, 

 les autres contenant les nombres 8/2+1 j 8/2 + 3. Il n'y a donc 

 que ceux-ci qui puissent être de forme trinaire. 



5°. Enfin lorsque a est de la forme 4/2 — 1 , les diviseurs qua- 

 dratiques de la formule ^ + 2 au"" sont de deux sortes , les uns 

 contenant les nombres 8/2+1 , 8/2 + 75 les autres contenant les 

 nombres 8/2 + 3 , 8/2 + 5. Il est évident que c'est seulement parmi 

 ces derniers que peuvent se trouver les diviseurs de forme 

 trinaire. 



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