524 THÉORIE DES NOMBRES. 



(264) Étant donnée une forme trinaire a^'-f è'^ + c* du nombre A^ 

 on pourra le plus souvent trouver , par son moyen , une ou plu- 

 sieurs autres formes trinaires du même nombre. 



Car 1°. si des trois quarrés donnés il en est deux dont la somme 

 a^ + è' ne soit pas un nombre premier , ou le double d'un pre- 

 mier , cette somme pourra se changer (n°. 236) en une somme 

 semblable/' +^'5 de sorte qu'on aura ^=/''+^^ + c^ 



2°. Si l'on fait = m, on aura en général 



'^ r= a"^ + 3" + c' = (^2 m — a/ -f (^2 m— 0/ 4- ('2 m — c/ ; 

 et comme on peut prendre à volonté les signes de a , 6 , c , on 

 pourra presque toujours faire en sorte que m soit entier , ce qui 

 donnera une seconde forme trinaire du nombre ^. Il faut cependant 

 excepter le cas où deux des trois nombres a^ b^ c seroient divi- 

 sibles par 3, et le troisième non-divisible , car alors m ne pourroit 

 être un entier. 



Il faut aussi excepter le cas où l'un des trois nombres a, è, c 

 seroit égal à la demi-somme des deux autres. Car si l'on a, par 

 exemple, ^ + c=2o, cette relation particulière donnera /7z = a, 

 et alors la forme (im — <3/+ (im — hy~\- (im — c/ sera iden- 

 tique avec la forme donnée a" ■{• b'' -^ c'' . 



(265) Pour donner un exemple de ces transformations , soit le 

 nombre 89 = 9*+ 2''+ 2* 3 en faisant a^=^ , Z» = 2, c= — 2, 



on aura m= • =3, et par conséquent ('im — ay-\-('im, — b)" 



j^Çim — 29* = 3''+4'+8% seconde forme trinaire de 89. Celle-ci 

 fournira semblablement une troisième forme 7'' + 6'-i-2% puis la 

 troisième une quatrième 5' + o''4-8^ On trouve donc par ce moyen 

 les quatre formes trinaires dont 89 est susceptible. 



La même transformation pourra quelquefois être appliquée à 

 des formules quadratiques indéfinies. Si l'on a , par exemple 5 la 

 formule (lie y + z)" ■\- (y — zy-\- />,z\ et qu'on fasse a^iy^Zy 



è = — !y-\-z^ c = — 2-SjOn aura m = =jK ? et la forme 



Uinaire proposée sera changée en cette autre forme : 

 (iy\rzy'\-C5y'^zT^(iy^'2.zT, 



