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§. II. Théorèmes relatifs aux diviseurs trinaiies. 



(266) Théorème I. ^oit c un nombre impair ou double d'un 

 impair ^ composé des trois quarrés f ''4- g V^ + §'"''% où ft et v sont 

 premiers entr'eux , je dis que le nombre t^^-^-v"" sera diviseur de 

 t» + cu^ 



Réciproquement si l'on a c =f''4-'?rg^5 et que tt soit diviseur de 

 t^+cu'" , et en même temps premier à c ^ je dis que tt sera la 

 somme de deux quarrés premiers entr^eux. 



.Car 1°. en faisant /u=4-v'=7r, les diviseurs premiers de tt ne 

 sauroient être que des nombres premiers 4/2+1 ou 2. Soit « un 

 de ces diviseurs, puisqu'on a 7Jg'^ = c — f, « sera diviseur de 

 c — f, et par conséquent il le sera aussi de x'^ + c (n°. 171). Mais 

 si chaque diviseur de tt est diviseur de la formule r + cz/% il s'en- 

 suit que le nombre tt lui-même est diviseur de i^-\-cu''. 



2°. Si on suppose que tt est diviseur de r-l-ci/% et qu'on ait 

 c ^f-i-TTg" j'û faudra que tt divise t-\-f^u''-\-7r g''a' ^ ou simple- 

 ment ^''-l-J^*^^^ Mais t et u sont premiers entr'eux. Quant à t tt fy 

 s'ils avoient un commun diviseur a, , ce nombre a ne pourroit divi- 

 ser TT y sans quoi il diviseroit c , et ainsi c et tt ne seroient plus 

 premiers entr'eux, comme on le suppose. Donc en faisant tr^ctf^ 

 f=ctf\ ce qui donne f -\-f^u'' — ^ (t'^-Vf^W") , les nombres t' 

 Gt f'u seront premiers entr'eux j et comme vr n'a point de diviseur 

 commun avec a, il faudra que tt divise la somme des deux quarrés 

 premiers entr'eux t"'-\-f''-u''-j donc tt sera une somme semblable 

 /w*-|-v% ce qui est la seconde partie du théorème. 



Corollaire, Si le nombre c est de la forme /'V*>''+5'*v''^'' + ^^'^V> 

 dans laquelle les termes pris deux à deux ont pour communs divi- 

 seurs A% iu", v"" , il suit de la première partie du théorème , que les 

 trois nombres yVa+^^A", g'^v'^ + lri^.', h^'^^'+fv'', composés chacun 

 de deux quarrés premiers entr'eux, seront diviseurs de la formule 

 i^ + cu". On verra de plus , u°. 274, qu'ils appartiennent tous trois 

 à un même diviseur quadratique. 



