

526 THÉORIE DES NOMBRES. 



(267) Théorème II. Soit c un nombre premier ou le double 

 dhm tel nombre^ et supposons quon ait à - la -fois c=f''4-'^g* 

 _-: f '2 ^ ^'g'2 . gi Iqs nombres tt et tt' sont diviseurs de l* + cu*,7e 

 dis qu'ils ne poui^ront appartenir à un même diviseur quadratique , 

 à moins qu'on rHait tt = /^''4-i'% çt':= //''' -f /% et que les trois quarrés 

 f = _^ ^»g= _|- ^»g» ne soient les mêmes j à l'ordre près ^ que les trois 



quarrés f'=^ + //V' + ^'V°- 



En efFet , si les nombres tt et tt appartiennent à un même divi- 

 seur quadratique , il faudra qu'on ait (n°. 23 1) 



Cette valeur étant substituée dans le produit des deux valeurs 

 de <? 5 on aura 



^. ^ pf. ^ ^ çpg^ ^y^y.; +^V Yj" + ^-^ V ; 

 d'où l'on conclut d'abord que chacun des termes ff , ggy est 

 moindre que c. On aura ensuite (c — p) (c — f"')^=-'^'^'g'g'' =^ 



il faut donc que le premier membre se réduise à un entier. Cela 

 posé , nous examinerons successivement les deux cas mentionnés 

 dans le théorème. 



Premier cas. Si c est un nombre premier , il faudra ^^^ff'+gg'y 

 ovi ff— gg'y soit divisible par c. Mais on a déjà vu que chacun 

 des termes ff\ gg'y est moindre que c , ainsi l'on ne peut faire 

 que l'une ou l'autre des deux suppositions suivantes : 



ff'+ggy = (^ 



ff'-ggy = ^' 

 La première donneroit 



— f-^^=^'^ff-c=g^g'^z^^f^-^f'^---c, 



o-a(f-^f)^+g''g^?^^=o, ce qui est impossible, La seconde sup- 

 position donne 



c^r+f"-^g'g"z\ 



Comparant cette valeur avec les deux supposées c r= f^ ■\- '^ g" y 

 i^~f^^'^'g'% on en tire 



