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ce qui prouve que — et -^ doivent être des entiers. Soit donc 

 f =zg^^ f=:g^'^ on aura 



valeurs telles que le développement des deux quantités/' + 77-^», 

 f'^ + 'Tir'g"' donne les trois mêmes quarrés ou la même forme trinaire 



D'où l'on voit 1°. que les nombres tf et tt' sont chacun la somme 

 de deux quarrés conformément au théorème J j 2°. que les trois 

 quarrés résultans de la formey' + Tr^" sont identiques avec les trois 

 quarrés résultans de la ïovniQ f''^~\-7r'g"^. 



Second cas. Si Fon a c = 2 a ^ a étant un nombre premier , il 

 faudra que Fun des {^acteurs ff -\-ggy , ff — ggj soit divisible 

 par a; et comme on a toujours ff -\-gg'j<i'^c ou <iia^ on ne 

 pourra faire que les deux suppositions suivantes, k étant <<4- 



ff'—gg'j = ^^' 

 Ces deux équations reviennent à la même , parce qu'on peut sup- 

 poser y positif ou négatif j ainsi il suffira d'en examiner une. Or 

 la seconde donne /"/''" — g"" g'^'j'' ^= "^ ff ^ (^ — A-"o% quantité qui , 

 d'après l'équation (1), doit être divisible par <? ou par la. De-Ià 

 on voit que k doit être pair , et qu'ainsi il faut faire >t = 2 ou /: = 0. 

 Mais alors on retombe sur les deux suppositions//^' — gg'j'==-'^^'=^ » 

 ff — ggJ=o, les mêmes auxquelles on a été conduit dans le 

 développement du premier cas. On en tirera donc encore la même 

 conclusion conforme à l'énoncé du théorème. 



(268) Théorème III. Si un diviseur quadratique de la for- 

 mule f + c u' est décomposahle en trois quarrés , tels que 

 (my-\-nz)^-\- (n\'y-\-n'z)' -\- (m'y-\-TL'z)'' ^ je dis que cette forme 

 trinaire du diviseur en fournira une correspondante du nombre c , 

 laquelle sera c= (fm n'— m'n/ + (^mV— mV/ + (fm''n — mn'/. 



Car en représentant le diviseur dont il s'agit par la formule ordi- 

 naire py-\-i qyz-^- rz"^ on aura 



