328 THÉORIE DES NOMBRES. 



mn -^-rn n 



Or ces valeurs étant substituées dans l'équation c=pr — g" ^ on 

 en tire 



c-=(m ;z'— m'n)' + (m'u"-^ m'ny-\- (m"n — m n')\ 



Donc il y a toujours une forme trînaire déterminée de c qui 

 correspond à une forme trinaire déterminée du diviseur quadra- 

 tique p^^-\-'2qy z + rz''. 



(269) Remarque I. Lorsque c est de la forme 8i& + 5, au lieu 

 du diviseur quadratique à coefTiciens impairs , lequel ne pour- 

 roit jamais être de forme trinaire , on considérera son double 

 '2.pj''-\-'2qy z-T^rz"" où l'on a ipr — q*^=c. Si donc ce double 

 diviseur impair , ou ce diviseur 4/z + 2 , est décomposable en trois 

 quarrés , il y aura toujours une valeur correspondante de c ejcpri- 

 mée aussi par la somme de trois quarrés déterminés, c'est-à-dire 

 en d'autres termes que chaque forme trinaire du diviseur quadra- 

 tique 4/2+2 en fournit une correspondante du norribre c. Et celle-ci 

 .est toujours composée de trois quarrés impairs , car il n'y a aucune 

 . autre supposition qui puisse donner une somme 8^ + 3. 



Remarque 11. La décomposition d'un diviseur quadratique ou de 

 son double en trois quarrés , ne sauroit avoir lieu lorsque c=8 ^-i-j; 

 car si cette décomposition étoit possible , il résulteroit du théo- 

 rème précédent , que c est la somme de trois quarrés 5 ce qui est 

 impossible à l'égard de tout nombre 8-^-1-7. 



Remarque III. Les trois quarrés trouvés en général pour la 

 valeur de c se réduisent à deux ou même à un seul dans des cas 

 qu'il est facile de prévoir. 



m" m' 



x°. Pour qu'on ait m"n —m'n" = , ou —y/=:—j^ il faut que 



n n 



le quarré (m'y-\-n" z^ ait un rapport constant avec le quarré 



(m'j-\-nzy -j et réciproquement, si le diviseur quadratique A est 



de la forme 



^=:(m.y-\-nz)''V^"(My-\-Nzy-\' C(My-\-Nz)% 



