TROISIÈME PARTIE. 329 



la valeur correspondante de c ne contiendra que deux quarrés, 

 et sera 



c = ct^ju N-— n M/ + C' (m N— n M)\ 



De plus, ces deux quarrés seront affectés d'un commun diviseur 

 (mN — nM)^, ou s'il n'y a pas de commun diviseur, il faudra 

 supposer mN" — 7iM=^d=:i. Mais alors si Ton fait mj-i-7iz=y y 

 My-^Nz^zz', on ne nuit en rien à la généralité des valeurs àe j 

 etz (n°. 45), et le diviseur devient y^+ (ct' + C')z'' ou j^ + cz", 

 Donclorsque c n'a point de facteur quarré,et qu'on n'a point <?=*' + ^, 

 le cas que nous venons de développer ne pourra avoir lieu , et 

 il faudra que tout diviseur trinaire de la formule /' + cz/% donne 

 une forme trinaire de c composée de trois quarrés dont aucun ne 

 pourra être nul. 



2°. Pour que les trois quarrés qui composent la valeur de c se 

 réduisent à un seul , il faut qu'on ait à-la-fois m'n' — m"n^=o, 

 m'n — m n' = o , ce qui donne ttî'^ = o , n" =.0. Donc alors le divi- 

 seur quadratique dont il s'agit seroit (my -^n z)"- -\- ( iriy -^ n z)'', et 

 le nombre correspondant c-=(mn'-^m'ny. 



(2 70) Théorème IV. Réciproquement étant donnée une forme 

 trinaire du nombre c y on -pourra toujours trouver un diviseur 

 quadratique de la formule t' + cu**, lequel répondra à la valeur 

 donnée de c et sera également de fjrme trinaire. 



Soit la forme trinaire donnée c^=F^-\- (G"" ■\- H^)%^., où l'on 

 pourra supposer G et J^ premiers entr'eux j si on détermine ^ et et 

 d'après l'équation F^=GC — Hol^Iq diviseur quadratique corres- 

 pondant à la valeur de c sera 



A = fGjK + *z;'-f (Hy-\-Czy-\'^^z\ 

 En effet, si on compare cette quantité à la formule (my-\-nz)'^ 

 + (m'y •\' 71 z)'' -\- (m'y -\-n'z)'-, et qu'ensuite on substitue les valeurs 

 de m, n, m', n', &c. dans la formule c=(mn' — m'n)^-^(m'n' — m"n)* 

 •^(m"n — mriL'y^ on en déduira 



ce qui est la forme trinaire donnée. 



Donc toute valeur trinaire du nombre c fournit un diviseur qua- 

 dratique qui répond à cette valeur , et qui est lui-même de forme 



Tt 



