S54 THÉORIE DES NOMBRES. 



(1274) Par la forme même des équations Az=\''x'- + ij.''x^^-\-v''x''*j 

 o:=fx-{-gx'-\-hx", on voit que les lettres/, g, h peuvent être 

 échangées entr'elles , pourvu qu'on échange dans le même ordre 

 les lettres jT, g, h , ce qui donne toujours la même forme trinaire 

 c=/V-°i'*+^'i'''aH^*^V. Il paroît donc que de quelque manière 

 qu'on s'y prenne pour réduire les trois indéterminées x , x' , x" à 

 deux , on parviendra toujours à une seule et même forme pour le 

 diviseur quadratique a , de sorte qu'il n'y aura qu'un seul diviseur 

 quadratique qui puisse répondre à la forme trinaire donnée. Mais 

 cette proposition a besoin d'être mise dans un plus grand jour. 



Puisque les nombres g et h sont premiers entr'eux , on pourra 

 toujours en trouver deux autres f et ô qui satisfassent à l'équation 



D'ailleurs puisqu'on a o=fx+gx'-^hx\ la valeur deyélant subs- 

 tituée dan? celle-ci donnera o =gCx'+^x)-{-h(x^' -\-Q x). Soitv une 

 nouvelle indéterminée , on pourra faire en général 



x' = — ^ X — hv 



x" = ^ X -^ gv ^ 



et par le moyen de ces valeurs on aura 



A —K'x^+l^^C^X + hvJ' + v'CSx—gv)*; 



de sorte que si l'on fait a =p v''-{-2 qvx-^-rx" ^ on aura 



ç = y.^^h^v^Qg 



r = A^^ + z-cV^ + i/'ô». 

 Dans cette réduction on a conservé l'indéterminée x , et éliminé 

 les deux autres x\ x'\ en introduisant une nouvelle indéterminée u. 

 On peut de même conserver x' et éhminer x et x'. Pour cela , soit 



g = fTT -\- h ù) ^ 



et on parviendra de même au résultat 



A=K'(7r x' -{-hv'/Jr [jL^x'" + V* (a x'^f^j'y. 

 Comparant ce résultat au précédent^ on fera d'abord ^'=^^+Au, 



TTx' ■\-hv' = x ^ ce qui donnera v'= ( —) x — ttv. Mais des deux 



équations/=^^+A9,^— /9r + /zM,ontire/fi— 7rf;=A(^ô + «^;. 

 Donc puisque f et h sont premiers entr'eux , on pourra faire 

 >— ^7r^z=A(7, Q-{-u^ =fa- j et on aura u' = «rx — to. De-là résulte 



