336 THÉORIE DES NOMBRES. 



Ces valeurs étant substituées dans la première mn — m'n^= ^ , il ne 

 restera plus qu'à satisfaire à la condition 



et tout ce qui concerne les coefficiens m^n^ m\ n\ m\ n" sera censé 

 déterminé. Maintenant si Fon substitue les valeurs de ces coeffi- 

 ciens dans celles de/> ^ q , r , et qu'on fasse pour abréger 



C =i^'Jt-\-v^g\ 

 on aura 



p—:A m'— 2 B m M+ CM' 



q = ^ mn^B (mN-\-JiM)-\-CMN 



r = ^72*^2 B 71 N-\-CN\ 



Mais comme on a déjà exprimé la condition pr — q"" r=ic ^ on peut 



faire abstraction de la seconde équation , et ne considérer que les 



deux autres : 



pr=^^ rrû^lBmM.-VCM.^ 



r = ^ ji'—2BnN-\-CN\ 



Il faudra donc qu'on puisse satisfaire de plusieurs manières à celles- 

 ci , s'il y a plusieurs formes trinaires du diviseur A (^ui répondent à 

 la valeur trinaire donnée de c, 



(276) J'observe que la formule indéterminée ^j^ — iByz-{-Cz* 

 satisfait à la condition ^C — B'^=cj elle représente donc un 

 diviseur quadratique delà formule i^-^cu". De plus , cette formule , 

 ainsi qu'on le voit par les valeurs de ses coefficiens (conformes 

 à celles dep , q , r dans le n°. 274 ) , est le diviseur qui répond à la 

 forme trinaire donnée de c ; elle doit donc avoir pour expression la 

 plus simple pjy^ — zqj z-\-r z^. 



Mais un même nombre ne peut être représ'enté de deux manières 

 par la formule ^y'' — 2 By z + Cz''^ sans l'être aussi de deux ma- 

 nières par la formule équivalente py""^ — 2 qy' z' -Yr z'"". Car de la 

 première on passe à la seconde, en faisant j/ = « j^' + a° ^ , 

 z = cy-^C°z', et supposant et €' — ct°C= 1. Donc s'il n'y avoit qu'une 

 manière de satisfaire à l'équation K=^py"' — 2§'jV + 7'z'% il n'y 

 suroit non plus qu'une solution de l'équation K=^^y'^'-^2Bjzr'\- Cz*. 



Donc 



