T R O I s I È M E P A R T I E. 33; 



Donc si le diviseur qusidraiic[ue pj^-'r 2 çy z-]-r z* se décom- 

 pose de plusieurs manières en trois quarrés , et qu'en même 

 temps ces diverses formes Irinaires répondent à une même forme 

 donnée du nombre c , il faudra que l'une au moins des deux 

 équations j> =7?^'* — zçyz + rz^, r=py — îiqyz + rz'' admette 

 un pareil nombre de solutions. Et il faut remarquer que comme 

 on peut changer à- la-fois les signes de j et de 2 , on ne doit 

 regarder comme solutions différentes que celles qui donneroient 



pour - des valeurs différentes. 



z 



Mais puisque le second membre est réduit à l'expression la plus 

 simple , il n'y aura qu'un nombre de cas très-limité où l'on pourra 

 avoir deux solutions et jamais plus. Ce sont 1°. le cas de /?= r oà 

 l'on peut faire j'=;;:o, z = i , ou j = 1 , z = o-, 2° . le cas de j'=nq 

 où l'on peut avoir de deux manières p = pj" — 2 qy z-^-iq z^^ Fune 

 en faisant jj/= 1 , ^ = o , Fautre en faisant y=^\^z^=^x\ 3°. le 

 cas de p-=^2q qui est semblable au précédent. 



Au reste , on peut voir immédiatement , dans ces différens cas , 

 qu'il y a , ou qu'il peut y avoir deux formes trinaires du diviseur 

 quadratique , lesquelles correspondent à une même valeur de c. 



En effet , 1°. si l'on sip = ?' , les indéterminées jk et z pourront 

 être échangées entr'elles , et le diviseur py'^-i-iqyz-l-pz'' qui se 

 décompose en ces trois quarrés a^ (my -f- jiz)^ -f- y."" (ni y + t^ zy 

 ■\-v* (iri'y-\-rL'zy ^ se décomposera également en ces trois autres, 

 K^Çmz-^-nyy ~[-(^'' (f7i'z~\-n'y)'' ■\-v'' (m"z-\-7i"y)'^ ^ seconde forme qui 

 pourra être différente de la première , et qui cependant répon- 

 dra à la même valeur trinaire de c. C'est ainsi que le diviseur 

 ioj/'' + 6jK2+ 10 2* qui appartient à la formule i'-f-giz/^ se décom- 

 pose en trois quarrés de ces deux manières : 



y^^^z^-lCdy + zT 

 z' + c^y' + (oz-\-y)\ 

 lesquelles répondent à la même forme trinaire c^Si+g-fi» 



2°. Si l'on a 7'= 2^, on pourra dans le diviseur quadratique 

 py'' + 2qy z + 2qz'^ changer -s en — z — y ; donc si ce diviseur est 

 de la forme h''(my-{-nzX'\-(Ji^(m'y-i-nz/'\-y'(my + 7i'zJ% il sera en 



Vv 



