TROISIÈME PARTIE. SSg 



Lorsque p^=r^ les quantités y et ;s pourront être échangées 

 l'une dans l'autre. 



Lorsque iqr=r^ on pourra mettre — y — z à la place de z, 

 et lorsque iq =/> , on mettra — y — z à la place dej/'. 



Dans ces cas , par conséquent , il pourra y avoir deux formes 

 trinaires du diviseur cherché , lesquelles répondront à la valeur 

 donnée de c. Mais comme on a supposé que les trois termes com- 

 posant la valeur de c ne sont pas divisibles par un même nombre , 

 on peut , en ayant égard à cette condition , déterminer d'une 

 manière précise les cas où le diviseur cherché aura nécessairement 

 deux formes trinaires , et ceux où il n'en aura qu'une. 



(278) Soit d'abord le diviseur trinaire dont il s'agit : 

 L=py^-\-iqyz-\-j)z'^{^My-^NzY^ {M y -^ N' z)' -^ {M' y -^^ N z)% 

 je dis qu'en changeant jj^ et ^ l'un dans l'autre , on aura toujours 

 une nouvelle forme trinaire de a correspondante à la même valeur 

 trinaire de c. 



Car si la forme trinaire du diviseur A restoit la même , malgré 

 le changement des indéterminées , il faudroit que les trois quarrés 

 (My\-Nzf^(M'y^N'zy^(M"y^N"zy fussent identiques 

 avec les trois (Mz^Ny^-^ (M'z-\-N'yy-\- (M"z + N'y)\ Or 

 la seule combinaison dans laquelle cette identité seroit possible, 

 donne 



^:=(My-^Nzy-\- (3Iz + ]Sryy+ (M'y^M'zy-, 



et il en résulte pour valeur correspondante de c : 



c=(MM—NNy+ CMM'=pN'M'y+ (MM'^NM')\ 

 Mais comme les trois termes de cette expression sont divisibles 

 par (M=pN)% il faut, pour ne pas sortir de notre hypothèse, 

 faire AÎ=f:N=i , et alors on aura 



Si l'on fait en même temps z=z'zf:y^ on aura 



A = (y^Mz'/ + Cy + Nzy + M''z'^2y''=p7yz' + ^^z'\ 



Or cette forme ne peut s'accorder avec la forme primitivement 

 supposée py''-^- -2 ç y z-^pz"", à moins de faire c = 5, cas dont on 

 peut faire abstraction. Donc toutes les fois que le diviseur qua- 



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