540 T H É O R I E D E S N O M B R E S. 



dratique a sera de la forme /?j/'+2 Çjz+pz''^ il y aura toujours 

 deux formes trinaires du diviseur A, lesquelles répondront à la 

 même valeur trinaire de c. 



Le cas où le diviseur quadratique seroit pj''+ "^çyz -|- iqz"", 

 "mène à une semblable conclusion^ parce qu'en mettant y — z à la 

 place dejK > il prend la forme -py'^-^-Çip — iq)y z-\--p z^ semblable 

 à celle qu'on vient d'examiner. Il y aura donc alors deux formes 

 trinaires du. même diviseur correspondantes à une 'même valeur 

 trinaire de c^ il faut excepter seulement le cas où ^r= i j car le 

 diviseur /7j^'' + 2^ z+ 2 z'' décomposé en trois quarrés , ne peut être 

 que de la forme 



(z-^(a-^ i)y)'+ (z—ayT-^bY > 

 laquelle ne change pas en mettant — z — y à la place de z. 



11 ne reste plus qu'à examiner le cas de q = o , auquel se ra- 

 mèneroit le cas de q^=p j alors le diviseur py''-\-r z"" sera à-la- fois 

 des deux formes (31y + Nz)'-\- (M'y-VN'zy-\- (M"y^N"zy et 

 (My — Nzy-\-(M'y — N'z)'-\- (M"y — N"z)\ lesquelles répon- 

 dront à une même valeur trinaire de c ; et ces deux formes seront 

 toujours différentes l'une de l'autre , à moins que le diviseur dont 

 il s'agit ne soit (My-\-N zy'\- (My — N z^-^- (3î'y)\ Dans ce 

 cas particulier , on aura c—(2 MN y -f (M 'Ny -{- (M'Ny^ et pour 

 éviter le facteur commun il faudra faire iV= i , ce qui donnera 



c 



c = 4jTf'-i-2 7lf' % et 77j^ + rz'= 2z'-\--y^ i (le sorte qu'il y a ex- 

 ception seulement lorsque p^=- 2, 



(2y(^) On peut donc établir , pour conclusion générale, que la 

 forme trinaire donnée du nombre c ne répondra qu'à une seule 

 forme trinaire du diviseur quadratique qui en est déduit, tant qu'on 

 n'aura pas une des égalités ç=^o ou. p,p^=r, iq =/> ou r. Mais 

 si l'une de ces égalités a lieu , et qu'en même temps le moindre 

 des deux nombres p et r ne soit ni 1 ni 2 , il y aura deux formes tri- 

 naires du même diviseur py'^Ariqyz-^-rz'^^ lesquelles répondront 

 à la valeur donnée de c. 



Remarque. Il est bon d'observer que le même diviseur quadra- 

 tique peut avoir diverses formes trinaires correspondantes à diverses 



