542 THÉORIE DES NOMBRES, 



et déterminer Fune des quantités x , x\ x" par Téquatioii 



o ^=fx -\-gx -\- h x". 

 Mais cette condition ne seroit pas suiEsante , car il faut que les 

 valeurs dejr et z tirées des équations my-\-nz =.x ^ m'y-\-nz = a;', 

 soient des entiers j ces valeurs sont : 



nx — nx mx — ni x 



m n — m n mn — mn 



Or on prouvera comme ci-dessus que les quantités rîx — nx' et 

 mx — nîx sont divisibles par A; mais il faut encore qu'elles le 

 soient par 4 > puisque m n! — ni!n = h^ j nouvelle condition qui exige 

 qu'on poursuive la résolution des équations en m , n , in, &c. 



Soit comme ci-dessus ^=^^4- A â , on pourra faire de même 

 (n^ 275) 



m"r= — s m— g M n"= — 9 7i—g JY, 



et on aura l'équation de condition mN — niJf = 4) de laquelle 

 seule dépendent les indéterminées restantes m , ji , 31 , N. Soit 

 4 = aé'_, si l'on fait m^=^a.]\l\ n^=^ctN'^ l'équation de condition 

 sera M'N'—N'M = Cj et comme M' et N' peuvent maintenant 

 être considérés comme premiers entr'eux , on pourra faire 



M'A—N'B^i , 

 cequidonnera /ff=^^4-iIiV , N:= ^ C+N'a- , jt étant une nou- 

 velle indéterminée. Au moyen de ces valeurs on aura 

 mj + nz = ci(3î'j + N'z) 



my + n'z = (h<r—.^ct)(My + N'z) + hC(By + ^z) 

 m'y + n"z= — (ga--\-Qct) (Mj -\-N'z) — gC(Bj ■\-Az'). 

 Mais on peutfaire M'y-\-]Sl' z^=z^ et By-\-^z-=^y' ^ parce qu'ayant 

 M'-/4 — N'B=i , les valeurs dey et z exprimées eny' et z' seront 

 des nombres entiers 5 donc enfin le diviseur cherché sera (après 

 avoir effacé les accens ) 



A=h''oi'z' + lJ.-'((hcr-^^ct)zi-hCyy-^v^((g(r+Qct)zi-gCy)\ 

 Cette forme générale contient autant de formes particulières qu'il 

 y a de manières de partager 4- en deux facteurs a et ^j de plus, 

 chaque forme particulière pourra se subdiviser en plusieurs autres , 

 à cause de l'indéterminée cr qui y est contenue. 



On prouvera aisément par la formule du n°. 268 qu'en effet 



