345 T H É O R FE DES NOMBRES. 



Remarque. Cette proposition présente une propriété qui con- 

 vient exclusivement aux nombres premiers ou doubles de premiers, 

 et qui peut servir à distinguer ces nombres de tous les autres. 

 En effet , dans tous les cas où c sera un nombre composé , autre 

 que le double d*un nombre premier, on trouvera que le diviseur 

 py"- + 2 qj z + r .s% s'il est trinaire ou décomposable en trois quarrés , 

 le sera toujours de plusieurs manières. Par exemple , la formule 

 i''-\-'52\u' a pour diviseur trinaire ijy^-^-iij z-^-iÇiz'', et ce divi- 

 seur, parce que 32 1 est le produit de deux nombres premiers 3,107, 

 se décompose en trois quarrés de ces deux manières : 



I7r +22r;s-t-2b^ ==< 

 ^ ( ('2y-\-^zy-^(^y—zr-Y('2y-\-4zT 



où l'on observera que la première forme trinaire (4:y-{-3z)^-\- 



(^y — ^j)= + 4z' du diviseur répond (n°. 268) à la valeur trinaire 



321 :=7^+ i6'' + 4'', et la seconde forme trinaire du diviseur à une 



seconde valeur trinaire de 32 1 , savoir, 32i — ii' + 2'+ i4\ 



(285) Théorème VIII. Si le nombre N est compris dans un 

 diviseur trinaire de la formule t* + cu% réciproquement le nombre c 

 sera compris dans un diviseur trinaire de la formule t^ + Nu^. De 

 ■plus y les valeurs trinaires de ^ et de c ^ déduites de l'un ou de 

 l'autre diviseur ^ seront identiques. 



Pour bien faire saisir le sens de la seconde partie , considérons 

 la formule i'' + 65u'' et son diviseur quadratique 9^""+ ioj2+ ioz% 

 dont une forme trinaire est C2j+'dz)'' + (2y/-\-(y — z)\ Si dans 

 ce diviseur on fait j^ = 3, 2 = 2 , on aura le nombre compris 

 181= 12^ + 6^4-1''} cette même forme trinaire (^y-^-d z)'' + (2y)'' 

 j{-(y — z)^ donne pour la valeur correspondante de c (n°. 268), 

 65 = 6^ + 2^4- 5^ Réciproquement parmi les diviseurs quadratiques 

 de la formule ^'+181 u% on en trouve un 5 j'^ + ^yz + 37 z'' qui con- 

 tient le nombre 65 , et duquel 65 résulte en faisant y = 2 ^ z=i. 

 Or ce diviseur peut se meltre sous la forme y'' + (6z)'- + (2y + jsr)'', 

 de laquelle on déduit, tant pour 181 que pour 65 , les valeurs tri- 

 naires 65=2^-1-6^ + 5% 181 = 12^ + 6'+ 1% entièrement semblables à 

 celles qui ont été tirées du premier diviseur. 



